Question

.......................​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

cunoaștem formulele:

$\boxed{ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n + 1) = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3}}$

și suma Gauss pentru numere impare:

$\boxed{1 + 3 + 5 + (2n - 1) = n^{2}}$

atunci limita se scrie:

$= lim_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{ \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3} }{n \cdot {n}^{2} }$

$= lim_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{ {n}^{2} + 3n + 2}{3 \cdot {n}^{2} }$

$= lim_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{ {n}^{2} \cdot \Big(1 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{2}{ {n}^{2} } \Big)}{3 \cdot {n}^{2} } = \bf \dfrac{1}{3}$

q.e.d.