Question

.........................

Answer 1

notam n^2+n+1=a     ⇒       n^2+n+3=a+2

 a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²

√(n^2+n+1)(n^2+n+3)+1=√(a+1)² =a+1=n^2+n+1+1=n^2+n+2 ∈N

n∈N   ⇒ n²∈N    2∈N     ⇒suma lor ∈N

Answer 2

Problema cere să arătăm că:

$\it \sqrt{(n^2+n+1)(n^2+n+3)+1} \in \mathbb{N},\ \ \forall n\in\mathbb{N}$

Vom arăta că expresia de sub radical este  un pătrat perfect.

Notăm n² +n = a și expresia devine :

(a+1)(a+3) +1 = a² + 3a + a + 3 +1 = a² + 4a + 4 = (a + 2)²

Revenind asupra notației, expresia finală este :

(n² +n +2)²  și vom avea:

$\it \sqrt{(n^2+n+2)^2} = n^2+n+2 \in \mathbb{N}$