Question

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 1

$\left[\begin{array}{ccc}1&2a-1\\2a+1&a^2+2\end{array}\right]$

Ca sistemul sa fie compatibil determinat, determinantul trebuie sa fie diferit de 0.

Δ≠0

Calculand Δ matricei, obtinem : a²+2-(2a-1)(2a+1)≠0 <=> a²+2-4a²+1≠0

<=> 3-3a²≠0 | :3 <=> a²≠1 => a≠+1 sau a≠ -1.

a∈R\ {-1; +1}

Ca sistemul sa fie compatibil nedeterminat, determinantul trebuie sa fie egal cu 0 , adica a={-1, +1}.

Ca sistemul sa fie incompatibil, determinantul trebuie sa fie 0, determinantul principal sa fie diferit de 0 si cel caracteristic diferit de 0.

Minorul principal este format dintr-un element.

Primul este diferit de 0,ceilalti, orice valoare are a , sunt diferiti de 0.

Δp≠0.

Δc =$\left[\begin{array}{ccc}1&2a\\2a+1&2(a^2+a+1)\\\end{array}\right]$

Δc=2a²+2a+2-4a²-2a=2-2a²

Δc≠0 =>2-2a²≠0 => a≠-1 a≠1

a∈R\{-1; +1}

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Fie A matricea asociata sistemului.

$A=\left(\begin{array}{cc}1&2a-1\\2a+1&a^2+2\end{array}\right)$

Fie B matricea extinsa asociata sistemului.

$B=\left(\begin{array}{ccc}1&2a-1&2a\\2a+1&a^2+2&2(a^2+a+1)\end{array}\right)$

Determinam rangA.

delta1=|1|=1≠0, deci rangA=1

delta2=(a²+2)-(2a-1)(2a+1)=a²+2-4a²+1=-3a²+3=3(1-a²).

Daca delta2≠0, adica 3(1-a²)≠0, adica 1-a²≠0, adica a∉{-1,1}, rangA=2.

Daca delta2=0, adica a∈{-1,1}, rangA=1.

Determinam rangB.

delta1=|1|=1≠0, rangB=1

delta2=(a²+2)-(2a-1)(2a+1)=a²+2-4a²+1=-3a²+3=3(1-a²)

delta3=2(2a-1)(a²+a+1)-2a(a²+2)=2(2a³+2a²+2a-a²-a-1)-2(a³-2a)=4a³+4a²+4a-2a²-2a-2-2a³+4a=2a³+2a²+6a-2=2(a³+a²+3a-1).

Daca delta2≠0, adica 3(1-a²)≠0, adica 1-a²≠0, adica a∉{-1,1}, rangB=2.

Daca delta2=0, adica a∈{-1,1}, rangB=1.

Ecuatia delta3=0 nu are solutii reale si ne limitam la valorile obtinute in cazul delta2=0.

a) Un sistem este compatibil nedeterminat daca rangA=rangB<n, unde n este numarul de necunoscute.

In cazul de fata, numarul necunoscutelor este 2. Daca ar fi sa rezolvam sistemul, ar trebui sa gasim x si y.

Cum rangA=rangB<2, ne situam in cazul cand rangA=1 si rangB=1.

Pentru ca rangA=1 si rangB=1, a∈{-1,1} (conform celor prezentate mai sus).

b) Un sistem este compatibil determinat daca rangA=rangB=n, unde n este numarul de necunoscute.

In cazul de fata, numarul necunoscutelor este 2. Daca ar fi sa rezolvam sistemul, ar trebui sa gasim x si y.

Cum rangA=rangB=2, ne situam in cazul cand rangA=2 si rangB=2.

Pentru ca rangA=2 si rangB=2, a∉{-1,1}, adica a∈IR\{-1,1} (conform celor prezentate mai sus).

c) Un sistem este incompatibil daca rangA=rangB>n, unde n este numarul de necunoscute.

In cazul de fata, numarul necunoscutelor este 2. Daca ar fi sa rezolvam sistemul, ar trebui sa gasim x si y.

Cum rangA=rangB>2, ne situam in cazul cand rangA>2 si rangB>2. Acest lucru este imposibil si deci nu vom gasi pentru a in acest caz.