Question

------------------------------------------​

Answer 1

Răspuns:

$\frac{2010}{2011}$

Scriem expresia observând că fiecare fracție se poate scrie ca o diferență de două fracții consecutive:

$\frac{1}{1*2} = \frac{1}{1 } - \frac{1}{2}\\\\\ \frac{1}{2*3} = \frac{1}{2 } - \frac{1}{3}\\...............................\\ \\\frac{1}{2010*2011} = \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}$

deci

$\frac{1}{1*2} +\frac{1}{1*3} + .... +\frac{1}{2010*2011}$

$\frac{1}{1 } - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +.....+ \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}$

Reducând termenii obținem

$1-\frac{1}{2011} = \frac{2011-1}{2011}=\frac{2010}{2011}$