Question

......................​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1)

$f(x) = - {x}^{2} - 4x - 4$

$a = - 1; \: b = - 4; \: c = - 4$

$Δ = {( - 4)}^{2} - 4 \times ( - 1)( - 4) = 16 - 16 = 0$

$x_{1;2} = \frac{ - ( - 4)}{2( - 1)} = - 2$

axa de simetrie:

$\frac{ - b}{2a} = \frac{ - ( - 4)}{2 \times( - 1)} = - 2 \\ = > x = - 2$

a < 0 => funcția are un punct de maxim, vârful parabolei

$\frac{ - Δ}{4a} = \frac{0}{4 \times ( - 1)} = 0$

$V( \frac{ - b}{2a} ; \frac{ -Δ }{4a} ) = V(0; - 2)$

$f(x) \leqslant 0 = > Imf = ( - \infty ;0]$

intervale de monotonie:

funcția este crescătoare pe intervalul x ∈ (-∞; 0]

funcția este descrescătoare pe intervalul x ∈ [0; ∞)

semnul funcției:

f(x) ≤ 0 pentru x ∈ R

2.

$f(x) = 4 {x}^{2} + 4$

$a = 4; \: b = 0; \: c = 4$

$Δ = 0 - 4 \times 4 \times 4 = - 64 < 0 \\ = > fara \: solutii \: reale$

axa de simetrie:

$\frac{ - b}{2a} = \frac{0}{2 \times 4} = 0 \\ = > x = 0$

a > 0 => funcția are un punct de minim, vârful parabolei

$\frac{ - Δ}{4a} = \frac{ - ( - 64)}{4 \times 4} = 4$

=>

$V( \frac{ - b}{2a} ; \frac{ -Δ }{4a} ) = V(0; 4)$

$f(x) \geqslant 4 = > Imf = [4; + \infty )$

intervale de monotonie:

funcția este descrescătoare pe intervalul x ∈ (-∞; 4]

funcția este crescătoare pe intervalul x ∈ [4; ∞)

semnul funcției:

f(x) ≥ 0 pentru x ∈ R

3.

$f(x) = - 2x + {x}^{2} = {x}^{2} - 2x = x(x - 2)$

$a = 1; \: b = - 2; \: c = 0$

$Δ = {( - 2)}^{2} - 4 \times 1 \times 0 = 4$

$x_{1} = 0; \: x_{2} = 2$

axa de simetrie:

$\frac{ - b}{2a} = \frac{ - ( - 2)}{2 \times 1} = 1 \\ => x = 1$

a > 0 => funcția are un punct de minim, vârful parabolei

$\frac{ - Δ}{4a} = \frac{ - 4}{4 \times 1} = - 1$

$V( \frac{ - b}{2a} ; \frac{ -Δ }{4a} ) = V(1; - 1)$

$f(x) \geqslant - 1 = > Imf = [-1; + \infty )$

intervale de monotonie:

funcția este descrescătoare pe intervalul x ∈ (-∞; -1]

funcția este crescătoare pe intervalul x ∈ [-1; ∞)

semnul funcției:

f(x) ≥ 0 pentru x ∈ (-∞; 0] ∪ [1; +∞)

f(x) ≤ 0 pentru x ∈ [0; 1]