Question

....................​

Answer 1

Răspuns:

k = 10

Explicație pas cu pas:

$A_{0}A_{1} = 1 cm$

$A_{1}A_{2} = 2 \cdot A_{0}A_{1} = 2 = 2^{1}$

$A_{2}A_{3} = 2 \cdot A_{1}A_{2} = 2^{2}$

...

$A_{k-1}A_{k} = 2 \cdot A_{k-2}A_{k-1} = 2^{k - 1}$

$A_{k}A_{k+1} = 2 \cdot A_{k-1}A_{k} = 2^{k}$

=>

$A_{0}A_{k} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + A_{2}A_{3} + ... + A_{k-1}A_{k} = \\ = 1 + 2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1$

a)

$A_{0}A_{k} \: \: este \: \: numar \: \: impar$

=> nu există k astfel încât segmentul

$A_{0}A_{k} = 2018$

b)

$A_{0}A_{k} = 2019$

$2^{k} - 1 = 2019 \implies 2^{k} = 2020$

$1024 = {2}^{10} < 2020 < {2}^{11} = 2048 \\ {2}^{10} < {2}^{k} < {2}^{11} \implies \bf 10 < k < 11$

=> valoarea minimă a lui k: k = 10