Question

(0,∞)-->R,f(x)=x-ln(x+1)
Demonstrati ca functia este strict crescatoare pe (0,∞).
Ajutor va rog,URGENT!

Answer 1

Calculam f'(x).
f'(x)=[x-ln(x+1)]'=x'-[ln(x+1)]'=1-1/(x+1)=(x+1-1)/(x+1)=x/(x+1)
Rezolvam ecuatia: f'(x)=0.
O fractie este 0, cand numaratorul este 0.
x/(x+1)=0
x=0
Dar cum f:(0;inf), x=0 nu poate fi solutie. Deci ecuatia f'(x)=0 nu are solutii.
Asta inseamna ca f' pastreaza semn constant pe (0;inf).
f'(1)=1/(1+1)=1/2 >0
Deci rezulta ca f'(x)>0. Daca f'(x)>0 inseamna ca f este strict crescatoare pe (0;inf).