Question

(0,∞)-->R,f(x)=x-ln(x+1)
ln(x+1) Ajutor va rog!

Answer 1

ln(x+1)<x
ln(x+1)-x<0
Inmultim cu -1:
x-ln(x+1)>0
f(x)>0
Deci trebuie sa demonstram ca f(x)>0.
f'(x)=1-1/(x+1)=(x+1-1)/(x+1)=x/(x+1)
Cum f este definita pe (0;inf), inseamna ca x>0, deci si x+1>0. Asta inseamna ca f'(x)>0. Daca f'(x)>0, atunci f este crescatoare.
Facem tabelul de semn.
x |0___________inf
f' |+++++++++++++++
f | crescatoare pe (0;inf)
Daca f este crescatoare pe (0;inf), atunci:
f(x)>f(0)
f(0)=0-ln(0+1)=0+ln1=0+0=0
Deci finalizam:
f(x)>0