Question

°*~~~Punctul c!~~~*°

Answer 1

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,\, f(x) = x^2+1$

$\displaystyle c) \,\int_{0}^x e^{f(t)}\, dt = x \Rightarrow \int_{0}^x e^{f(t)}\, dt - x = 0$

Observăm că avem o soluție x = 0.

Urmează să demonstrăm că această soluție este unică.

$\displaystyle \text{Notez }F(x) = \int_{0}^x e^{f(t)}\, dt - x$

Dacă o funcție este strict crescătoare, atunci aceasta nu poate lua nici o valoare mai mult de o dată.

$F'(x) = e^{f(x)}-1 = e^{x^2+1}-1$

$x^2\geq 0 \Rightarrow x^2+1 \geq 1 \Rightarrow e^{x^2+1} \geq e^1 \Rightarrow e^{x^2+1}-1 \geq e-1 > 0$

$\Rightarrow F'(x) > 0 \Rightarrow F(x) - \text{strict crescatoare}$

⇒ F(x) = 0 doar atunci când x = 0

⇒ x = 0 este soluție unică pentru F(x) = 0