Question

1/1+2 + 1/1+2+3 +...+ 1/1+2+...+n=2009/2011
Va implor din inima

Answer 1

 suma Gauss  ; pentru fiecare termen 
1 +2 = (1 +2) · 2 / 2        =  2 · 3 /2 
1 +2 +3 = ( 1 +3) · 3 / 2   =  3 · 4 /2 
1 +2+3+4 = ( 1+4) · 4 / 2  = 4 · 5 /2 
............................
1 + 2+ .. + n = ( n +1) · n /2  
in ex.  inversate ; 
ex. =  2 / 2 · 3  + 2 / 3· 4 + 2 / 4·5 +  ........ + 2 / n · ( n +1) 
pentru fiecare termen  aplicam formula    
                            1 / n · ( n +1)   = 1  / n -   1 / ( n +1) 
2 · [ ( 1 /2 - 1 /3 )  + ( 1/3 - 1  / 4 ) + ( 1 / 4 - 1 / 5 ) +... +( 1 / n - 1 /( n +1) ) ] 
  termeni cu semnul  + ; -                , se reduc  
raman primul si ultimul din suma  
2 · [ 1 /2  -   1 / ( n +1) ] = 2009 / 2011
2 · 1 /2   - 2 / ( n +1) = 2009 /2011 
1 -  2 / ( n +1)  = 2009 /2011 
1 -  2009 /2011   = 2  / ( n +1) 
( 2011 -2009 )  / 2011 = 2 / ( n +1) 
           2 / 2011 = 2  / ( n +1 ) 
atunci    2011 =n +1 
n = 2010