Question

1) 1+2 + 2² +...... $2 ^{n}$ 2) 5 + 5² + 5³ +.......+5$^{1000}$

Answer 1

s=1+2+2^2+....+2^n|*2=>                                         2s=2+2^2+...+2^n+2^n+1                                       2s-s=s=2^n+1-1                                                                                                                                   s=5+5^2+  .....+5^1000|*5=>                                   5S=5^2+5^^3+....+5^1000+5^1001                             5S-S=4S=5^1001-5    S=(5^1001-5)/4

Answer 2

   
[tex]\texttt{EXPLICATII} \\ \displaystyle \texttt{Formula generala este: } \\ 1+a+a^1+a^2+ \hdots + a^n = \frac{a^{n+1} -1}{a-1} \\ unde: \\ \texttt{Primul termen} ~~1 = a^0 \\ a \in N -\{0;~1 \} \\ \texttt{Al doilea termen de la numarator : } ~~1 = \text{Primul termen} \\ \\ \\ \texttt{daca sirul nu incepe de la 1, atunci: } \\ \\ a^3+a^4+a^5+ \hdots a^n = \frac{a^{n+1}-a^3}{a-1} \\ \\ Unde:~~~ a^3 ~\texttt{din rezultat este primul termen din sir}[/tex]


[tex]\displaystyle \\ \texttt{Rezolvare: } \\ \\ 1)~~~1+2+2^2+ \hdots +2^n = \frac{2^{n+1}-1}{2-1}= \boxed{2^{n+1}-1} \\ \\ \\ 2)~~~5+5^2+5^3+ \hdots +5^{1000} = \frac{5^{1001}-5}{5-1}=\boxed{\frac{5^{1001}-5}{4}}[/tex]