Question

1+1/3+1/3^2+1/3^3...........+1/3^2003

Answer 1

S = 1+ _1_ + _ 1_ + _ 1_+ .. + _ 1___  
              3        3²        3³           3²⁰⁰³

S = 1+ _1_ + _ 1_ + _ 1_+ .. +_ 1_+  _ 1___  
             3       3²        3³         3²⁰⁰²     3²⁰⁰³


   S = 1+ 3⁻¹ + 3⁻² + 3⁻³ + ... + 3⁻²⁰⁰²+ 3⁻²⁰⁰³ I · 3

3·S = 3+ 3·3⁻¹ + 3·3⁻² + 3·3⁻³ + ... +3· 3⁻²⁰⁰²+3· 3⁻²⁰⁰³

3·S = 3+ 3⁻¹⁺¹ + 3⁻²⁺¹ + 3⁻³ ⁺¹+ ... +3⁻²⁰⁰²⁺¹+3⁻²⁰⁰³⁺¹

3·S = 3+ 3⁰ + 3⁻¹ + 3⁻²+ ... +3⁻²⁰⁰¹+3⁻²⁰⁰²


     3·S = 3+ 3⁰ + 3⁻¹ + 3⁻²+ ... +3⁻²⁰⁰¹+3⁻²⁰⁰²
 
        S = 1+ 3⁻¹ + 3⁻² + 3⁻³ + ... + 3⁻²⁰⁰²+ 3⁻²⁰⁰³ 
____________________________________________

3·S - S = 3+ 3⁰ + 3⁻¹ + 3⁻²+ ...       +3⁻²⁰⁰¹+3⁻²⁰⁰² -
 
                  - 1   - 3⁻¹  - 3⁻² -  3⁻³ - ... ..........- 3⁻²⁰⁰²- 3⁻²⁰⁰³ 
 
       2· S = 3 - 3⁻²⁰⁰³
 
       2· S = 3 - _ 1_
                         3²⁰⁰³
 
           S = ( 3 - _1_ ) : 2
                         3²⁰⁰³
 
           S = ( 3- _1_ ) ·_ 1_
                        3²⁰⁰³      2

                        



 

Answer 2

[1-(1/3)^2004]/(1-1/3)=

(3^2004-1)/3^2004 :2/3=3/2 * (3^2004-1)/3^2004=(1/2)*(3^2004-1)/3^2003=

(3^2004 -1) /(2*3^2003)=
=3/2-1/(2*3^2003)