Question

1/1 ori 2 + 1/2ori3 + ... + 1/n(n+1)=n/n+1 lectia este tipuri de rationamente logice

Answer 1

Vom demonstra egalitatea prin inductie matematica.
Fie urmatorul predicat:
$P(n):\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\ \ ,\ n\in N,\ n\geq 1$

Verificam daca este adevarat pentru prima valoare a lui n:
$P(1)=\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}\ \ \ -\text{adevarat}$

Acum, presupunem ca propozitia P(k) este adevarata, si in functie de aceasta, vom verifica daca P(k+1) este si ea adevarata, unde k va lua o valoare a lui n:
[tex]P(k)=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\ \ \ \text{Adevarata}\\\\ P(k+1):\underbrace{\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{k(k+1)}}_{P(k)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\\\ P(k+1):\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\\ =\frac{k+1}{k+2}\ \ \text{q.e.d.}[/tex]

Asadar, am demonstrat ca pentru orice valoare k pentru care propozitia este adevarata, atunci propozitia este adevarata si pentru k + 1  ==>  P(n) este adevarat pentru n ∈ N, n ≥ 1