Question

√(1+2^1+2^2+...+2^2013) este rațional? Vreau demonstrație (am demonstrat într-un mod dar nu știu dacă e corect). Mulțumesc anticipat!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Sub radical avem suma unei progresii geometrice cu 2014 termeni, unde b1=1 si ratia q=2, atunci S₂₀₁₄=1·(2²⁰¹⁴-1)/(2-1)=2²⁰¹⁴-1.

Numarul dat va fi rational, daca S₂₀₁₄ va fi patrat perfect. Aflam ultima cifra.

U(S₂₀₁₄)=U(2²⁰¹⁴-1)=U(2⁴ˣ⁵⁰³⁺²-1)=U(2²-1)=3.

dar toate patratele perfecta au ca ultima cifra una din {0,1,4,9,6,5}, dar 3∉{0,1,4,9,6,5}, deci S₂₀₁₄  nu este patrat perfect, si deci numarul initial nu este rational.