Question

1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2 < n-1/n metoda inductie matematice ..pls am nevoie urgent

Answer 1

Etapa de verificare:
pentru n=2
1/2^2<1/2
1/4<1/2 Adevarat

Etapa de demonstratie
presupunem ca pentru n relatia e adevarata:
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2 < n-1/n
si demonstram pentru n+1

rezulta
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n+1-1/n+1
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n/n+1
inlocuiesc termenii din stanga , inafara de ultimul cu n-1/n, este corect, deoarece am presupus ca acei termeni sunt <n-1/n mai sus umpic
deci n-1/n+1/(n+1)^2<n/n+1
trec pe n-1/n in dreapta cu semn schimbat si rezulta
1/(n+1)^2<n/n+1-(n-1)/n
aduc la acelasi numitor comun in dreapta, amplificand cu n+1 si n
1/(n+1)^2<n^2-n^2+1/n(n+1)
1/(n+1)^2<1/n(n+1)
dupa formula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 in stanga jos rezulta
1/(n^2+2n+1)<1/(n^2+n)
ceea ce este adevarat

Rezulta comform inductiei matematice ca relatia este adevarata