Question

1+2^2+2^4+2^6+..........+2^98 se divide cu 5

Cum dau coroana?

Answer 1

S = $2^{0} + 2^{2} + 2^{4} + .... + 2^{98}$
este o progresie geometrica cu ratia q = 2 ; si primul termen b₁ = 1 
Folosim formula pentru suma primilor n termeni dintr-o progresie geometrica

$S_n = b_1 \frac{q^{n} - 1}{q-1}$

Pentru n = 98 , q = 2 , b₁ =1  =>

$S_(98) = \frac{2^{98} - 1}{2-1} = 2^{98} - 1$

Ultimele cifre ale puterilor lui 2

$U(2^{1})= 2$
$U(2^{2})= 4$
$U(2^{3})= 8$
$U(2^{4})= 6$

Cum 98  = 96 + 2    |
Si 96 divizibil cu 4   |  => $U(2^{98})= 6$ 

=> $U(2^{98} - 1 )= 6 - 1 = 5$ 

Rezulta S este divizibil cu 5 ( orice numar care se termina in 5 este divizibil cu 5)