Question

1. (3+5+7+...+2015)-2-4-6-...-2014
2. (2+4+6+...+2016)-1-3-5-...-2015
3. Determinati numerele naturale a,b,c stiind ca ,,a ori b=35,,b ori c=63 si a ori c =45 .

Answer 1

Formule:
1 + 3 + 5 + .......... + (2n-1) = n^2
2 + 4 + 6 + .......... + 2n = n*(n + 1)

1). 2n - 1 = 2015, rezulta n = 2016 / 2 = 1008, deci avem:
3 + 5 + 7 + .... + 2015 = 1008^2 - 1 = (1008 - 1) * (1008 + 1) = 1007 * 1009
Mai sus am aplicat a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b)
2n = 2014, rezulta n = 1007, deci avem:
2 + 4 + 6 + ........ + 2014 = 1007 * 1008
Prin urmare, (2 + 4 + 6 + ........ + 2015) - (2 + 4 + 6 + ..... + 2014) = 1007 * 1009 - 1007 * 1008 = 1007 * (1009 - 1008) = 1007 * 1 = 1007.

2). (2 + 4 + 6 + ....... + 2016) - (1 + 3 + 5 + ......... + 2015) =
= 1008 * 1009 - 1008^2 =
= 1008 * (1009 - 1008) =
= 1008.

3). Din a*b = 35, rezulta b = 35 / a.
Din a*c = 45, rezulta c = 45 / a.
Inlocuim b si c in a doua ecuatie b*c = 63 si obtinem:
35/a * 45/a = 63
35 * 45 = a^2 * 63
a^2 = (35 * 45) / 63 = 25
Rezulta a = √25 = 5, apoi b = 35/5 = 7 si c = 45/5 = 9.