Question

1+3+5+...+99=?
2+4+6+...+1000=?
1+5+9+13+...+21=?
1+5+9+13+...+1001=?

Answer 1

1+3+5+...+99
S= 99+97+95+...+1
2S= 100•50
2S= 5000
S= 2500
coronita?

Answer 2

a) 1+3+5+...+99=
Aceasta suma nu este una Gauss, trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2 scrie numerele ca fiind un produs de 2 * y + 1, unde y
1 = 2 * 0 + 1
3 = 2 * 1 + 1
5 = 2 * 2 + 1
tot asa pina la 99
.
99 = 2 * 49 + 1
S = (2 * 0 + 1) + (2 * 1 + 1) + (2 * 2 + 1) + .... + (2 * 49 + 1)
Desfacem parantezele si regrupam termenii adunarii astfel:

S = 2 * 0 + 2 * 1 + 2 * 2 + .... + 2 * 49 + 1 + 1 + 1 + ... + 1

1 se aduna de 50 de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit 2 la ultimul termen al sumei, si anume 99, este 49, iar pentru ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga inca 1 => 50)

Dam factor comun pe 2:
S = 0 + 2 * (1+2+3+ ... + 49) + 50
S = 2 * (49 * 50) : 2 + 50
S = 49 * 50 + 50 = 2500

b) 2+4+6+...+1000=?
se da 2 factor comun si in paranteza va fi suma lui Gauss care are  formula [(n(n+1)/2]

2(1+2+3+...+500)=2[(n(n+1)/2]=2[500(500+1)/2)=250500

c) 1+5+9+13+...+21=?
In cazul de fata cresc din 4 in 4. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 4 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 4, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
1 = 4 * 0 + 1
5 = 4 * 1 + 1
9 =4 * 2 + 1
.
.
21=4*5+1
S = (4 * 0 + 1) + 4 * 1 + 1) + (4 * 2 + 1) + .... + (4 * 5 + 1)=
Desfacem parantezele si regrupam termenii adunarii astfel:

S = 4* 0 + 4 * 1 + 4 * 2 + .... +4 * 5 + 1 + 1 + 1 + ... + 1

1 se aduna de 6  de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit 4 la ultimul termen al sumei, si anume 21, este 5, iar pentru ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga inca 1 => 5+1)

Dam factor comun pe 4:
S = 0 + 4 * (1+2+3+ ... + 5) + 6

S=6+4 * (1+2+3+ ... + 5)
Dar (1+2+3+ ... + 5)=[n(n+1)]/2=[5(5+1)]/2=30/2=15
Deci S=6+4*15=6+60=66

d) se face la fel ca punctul c  pasul este tot 4 doar ca nu se opreste la 21 ci la 1001