Question

1. a)Determinati numerele naturale n pentru care ( n- 1 ) | ( n + 1 )
b) Determinati numerele naturale n pentru care ( n- 1 ) | ( 3 n + 1)
c) Determinati numerele naturale n pentru care ( 2n - 1 ) | ( 3 n - 1 )
2. Fie suma S = 3 + 3² + 3³ + ... + 3 la puterea 12.
a) Aratati ca suma S esti divizibila cu 13.
b) Aratati ca suma S esti divizibila cu 5.

Answer 1

a) n-1|n+1
    n-1| n-1
n+1+n-1=2 deci    n-1 | 2 ⇒n-1 ∈ D2
              n-1∈{-2,-1,1,2}            n∈{-1,0,2,3}        n∈N⇒S:n∈{0,2,3}

b)n-1 | 3n+1⇒n-1| 3n+1
   n-1 | n-1   ⇒n-1| 3n-3
3n+1-3n+3=4     deci     n-1| 4 ⇒n-1 ∈ D4          n-1∈ {-4,-2,-1,1,2,4}
                                    n∈{-3,-1,0,2,3,5}
                                    n∈N⇒S:n∈{0,2,3,5}

c)2n-1|3n-1 ⇒2n-1 |6n-2
   2n-1|2n-1 ⇒2n-1 |6n-3
6n-2-6n+3=1  deci      2n-1 | 1⇒2n-1 ∈D1      2n-1∈ {-1,1}       2n∈{0,2} 
                                       n∈{0,1}    n∈N⇒S:n∈{0,1}


2.S=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²
avem 12 termeni putem sa ii grupa cate 3
S=(3 + 3² + 3³) + ...(3¹⁰+3¹¹ + 3¹²)=
=3(1 + 3 + 3²) + ...3¹⁰(1+3 + 3²)=
=3(1 + 3 + 9) + ...3¹⁰(1+3 + 9)=
=13(3+...+3¹⁰) deci divizibil cu 13

avem 12 termeni putem sa ii grupa cate 4
S=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²=(3 + 3² + 3³ +3⁴+ ...3⁹+3¹⁰+3¹¹ + 3¹²)=
=3(1+3+3²+3³)+...+3⁹(1+3+3²+3³)=
=3(1+3+9+27)+...+3⁹(1+3+9+27)=
=3×40+...+3⁹×40=
=5(3×8+...+3⁹×8 deci divizibil cu 5