Question

1. a) Scrieți numerele prime mai mici decât 35.

b) Determinați numerele prime a şi b ştiind că 3a+16b = 54.
16b şi 54 sunt numere pare, deci .............................. .

c) Determinați numerele prime a şi b ştiind că 7a+16b = 94.
16b şi 94 sunt numere pare, deci .............................. .

d) Determinați numerele prime a, b, c ştiind că 2a+5b+6c = 74.

2. MODEL: a) Determinați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la numerele 5 şi 7 dă resturile 2 şi respectiv 4.
n = 5x+2 şi n = 7y+4. Adunăm 3 în ambii membri ai fiecărei relații (am observat că 5-2 = 7-4 = 3) şi obținem: n+3 = 5x+5 = 5 (x+1), deci n+3 este multiplu al lui 5. (1) n+3 = 7y+7 = 7(y+1), deci n+3 este un multiplu al lui 7. (2)
Din (1), (2) şi din faptul că n este cel mai mic număr, avem că n+3 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 şi 7, adică n+3 = 35, n = 32.

b) Determinați cel mai mic număr natural care împărțit la numărul 24 dă restul 10, şi împărțit la 36 dă restul 22.

2. a) Numerele 127, 53, 76 împărțite la acelaşi număr natural nenul n dau resturile 7, 5 şi respectiv 4. Determinați numărul natural n.

b) Numerele 47, 53, 64 împărțite la acelaşi număr natural nenul n dau resturile 2, 3 şi respectiv 4. Determinați numărul natural n.

c) Numerele 66, 142, 113 împărțite la acelaşi număr natural nenul n dau resturile 6, 7 şi respectiv 8. Determinați numărul natural n.

Answer 1

1)
a)
^=putere
*=ori
0 nu e prim, 0=0*orice numar.
1 nu e considerat numar prim, desi 1=1*1
2 e numar prim.
2=1*2
3 e numar prim.
3=1*3
4 nu e prim, e numar compus.
4=2^2
5 e numar prim.
5=1*5
6 nu e prim, e numar compus.
6=2*3
7 e numar prim.
7=1*7
8 nu e prim, e numar compus.
8=2^3
9 nu e prim, e numar compus.
9=3^2
10 nu e prim, e numar compus.
10=2*5
11 e numar prim.
11=1*11
12 nu e prim, e numar compus.
12=2^2*3
13 e numar prim.
13=1*13
14 nu e prim, e numar compus.
14=2*7
15 nu e prim, e numar compus.
15=3*5
16 nu e prim, e numar compus.
16=2^4
17 e numar prim.
17=1*17
18 nu e prim, e numar compus.
18=2*3^2
19 e numar prim.
19=1*19
20 nu e prim, e numar compus.
20=2^2*5
21 nu e prim, e numar compus.
21=3*7
22 nu e prim, e numar compus.
22=2*11
23 e numar prim.
23=1*23
24 nu e prim, e numar compus.
24=2^3*3
25 nu e prim, e numar compus.
25=5^2
26 nu e prim, e numar compus.
26=2*13
27 nu e prim, e numar compus.
27=3^3
28 nu e prim, e numar compus.
28=2^2*7
29 e numar prim.
29=1*29
30 nu e prim, e numar compus.
30=2*3*5
31 e numar prim.
31=1*31
32 nu e prim, e numar compus.
32=2^5
33 nu e prim, e numar compus.
33=3*11
34 nu e prim, e numar compus.
34=2*17
in concluzie, numerele prime mai mici decat 35 sunt: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31.
b)
... deci și 3a este un număr par,  iar cum 3 nu divide pe 2, atunci a sigur divide pe 2.
a este 2 (singurul număr prim par)
deci 3 x 2 + 16b=54
16b=54-6
16b=48
b=48 : 16
b=3
a=2
b=3
c)
... deci și 7a este un număr par,  iar cum 3 nu divide pe 2, atunci a sigur divide pe 2.
a este 2 (singurul număr prim par)
7x2+16b=94
16b=94-14
16b=80
b=80:16
b=5
a=2
b=5
d)
Cum 2a si 6c sunt pare, deci 5b e numar par iar cum 3 nu divide pe 2, atunci b sigur divide pe 2.
b este 2 (singurul numar prim par)
2a+6c+2*5=74
2a+6c=74-10
2a+6c=64(impartim la 2)
a+3c=32
a=32-3c>0=> c<32 si cum c numar prim =>
c poate fi 2,3,5 sau 7
Pentru c=2=>a=32-6=26 care nu este numar prim.
Pentru c=3=>a=32-9=23 care  este numar prim.
Pentru c=5=>a=32-15=17 care  este numar prim.
Pentru c=7=>a=32-21=11 care  este numar prim.
In concluzie:
a=23,b=2,c=3
a=17,b=2,c=5
a=11,b=2,c=7.
Sper ca te-am ajutat!