Question

1. a) Scrieți numerele prime mai mici decât 35.

b) Determinați nunerele prime a şi b ştiind că 3a+16b = 54.
16b şi 54 sunt numere pare, deci .............................. .

c) Determinați numerele prime a şi b ştiind că 7a+16b = 94.
16b şi 94 sunt numere parw, deci ............................. .

d) Determinați numerele prime a, b, c ştiind că 2a+5b+6c = 74.

2. MODEL: a) Dacă 2a+3b = 65 şi (a, b) = 5, atunci determinați numerele naturale a şi b.
Din (a, b) = 5, obținem a = 5x, b = 5y şi (x, y) = 1. Relația 2a+3b = 65 devine 10x+15y = 65 şi împărțind prin 5 termenii egalității obținem 2x+3y = 13. După valorile lui y studiem cazurile: y = 1, x = 5; y = 2, x = 3 şi y = 3, x = 2. Perechile (a, b) de numere căutate sunt ( 25, 5), (15, 10) şi (10, 15).

b) Dacă a×b = 294 şi (a, b) = 7, atunci determinaţi numerele naturale a şi b.

Answer 1

1)
a)
^=putere
*=ori
0 nu e prim, 0=0*orice numar.
1 nu e considerat numar prim, desi 1=1*1
2 e numar prim.
2=1*2
3 e numar prim.
3=1*3
4 nu e prim, e numar compus.
4=2^2
5 e numar prim.
5=1*5
6 nu e prim, e numar compus.
6=2*3
7 e numar prim.
7=1*7
8 nu e prim, e numar compus.
8=2^3
9 nu e prim, e numar compus.
9=3^2
10 nu e prim, e numar compus.
10=2*5
11 e numar prim.
11=1*11
12 nu e prim, e numar compus.
12=2^2*3
13 e numar prim.
13=1*13
14 nu e prim, e numar compus.
14=2*7
15 nu e prim, e numar compus.
15=3*5
16 nu e prim, e numar compus.
16=2^4
17 e numar prim.
17=1*17
18 nu e prim, e numar compus.
18=2*3^2
19 e numar prim.
19=1*19
20 nu e prim, e numar compus.
20=2^2*5
21 nu e prim, e numar compus.
21=3*7
22 nu e prim, e numar compus.
22=2*11
23 e numar prim.
23=1*23
24 nu e prim, e numar compus.
24=2^3*3
25 nu e prim, e numar compus.
25=5^2
26 nu e prim, e numar compus.
26=2*13
27 nu e prim, e numar compus.
27=3^3
28 nu e prim, e numar compus.
28=2^2*7
29 e numar prim.
29=1*29
30 nu e prim, e numar compus.
30=2*3*5
31 e numar prim.
31=1*31
32 nu e prim, e numar compus.
32=2^5
33 nu e prim, e numar compus.
33=3*11
34 nu e prim, e numar compus.
34=2*17
in concluzie, numerele prime mai mici decat 35 sunt: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31.
b)
... deci și 3a este un număr par,  iar cum 3 nu divide pe 2, atunci a sigur divide pe 2.
a este 2 (singurul număr prim par)
deci 3 x 2 + 16b=54
16b=54-6
16b=48
b=48 : 16
b=3
a=2
b=3
c)
... deci și 7a este un număr par,  iar cum 3 nu divide pe 2, atunci a sigur divide pe 2.
a este 2 (singurul număr prim par)
7x2+16b=94
16b=94-14
16b=80
b=80:16
b=5
a=2
b=5
d)
Cum 2a si 6c sunt pare, deci 5b e numar par iar cum 3 nu divide pe 2, atunci b sigur divide pe 2.
b este 2 (singurul numar prim par)
2a+6c+2*5=74
2a+6c=74-10
2a+6c=64(impartim la 2)
a+3c=32
a=32-3c>0=> c<32 si cum c numar prim =>
c poate fi 2,3,5 sau 7
Pentru c=2=>a=32-6=26 care nu este numar prim.
Pentru c=3=>a=32-9=23 care  este numar prim.
Pentru c=5=>a=32-15=17 care  este numar prim.
Pentru c=7=>a=32-21=11 care  este numar prim.
In concluzie:
a=23,b=2,c=3
a=17,b=2,c=5
a=11,b=2,c=7.

Answer 2

a)1, 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29,  31

b)3a + 16b = 64 
3 * 2 + 16 * 3 = 6 + 48 = 54   =>   a = 2   si  b = 3

c)a=2 ⇒ 16b = 80⇒ b=5

d)2a+5b+6c=74=>5b=74-2a-6c=>5b=2(37-a-3c)=>b este par si cum b este numar prim=>b=2=> 2a+6c=64|:2=>a+3c=32=>a=32-3c>0=>3c<32 si cum c numar prim=>
c poate fi 2,3,5 sau 7
Pentru c=2=>a=32-6=26 care nu este numar prim.
Pentru c=3=>a=32-9=23 care  este numar prim.
Pentru c=5=>a=32-15=17 care  este numar prim.
Pentru c=7=>a=32-21=11 care  este numar prim.
In concluzie:
a=23,b=2,c=3
a=17,b=2,c=5
a=11,b=2,c=7.

2)  a)(a,b)=5 => a= 5x si b = 5y cu (x,y)=1
2*5x + 3*5y = 65 | :5 => 2x + 3y = 13
Cazul 1: y=0 => 2x = 13 NU
Cazul 2 : y=1 => 2x = 13-3 =10 |:2 => x=5 => a=5*5=25 si b=5y=>b=5*1=5
Cazul 3 : y=2 => 2x= 13-6=7 NU
Cazul 4 : y=3 => 2x = 13-9 = 4 |:2 => x=2 => a=5*2=10 si b=5*3=15
Cazul 5 : y=4 => 2x=13-12=1 NU.
(a;b)∈{(25;5) ; (10;15)

b)Din(a,b)=7, obtinem a=7x,b=7y si (x,y)=1.Relatia a·b=294 devine 7x·7y=294 si impartind prin 49 termenii egalitatii obtinem x·y=294:49=6. Dupa valorile lui y studiem cazurile :
1.y=1⇒x=6⇒a=7·6=42;b=7·1=7 rezulta perechea (42,7)
2.y=2⇒x=3⇒a=7·3=21;b=7·2=14 rezulta perechea (21,14)
3.y=3⇒x=2⇒a=7·2=14;b=7·3=21 rezulta perechea (14,21)
4.y=6⇒x=1⇒a=7·1=7;b=7·6=42 rezulta perechea (7,42)