Question

1.ABCD trapez isoscel.AB || CD,AB=16,CD=AD=8cm.
a) sa se calculeze lungimea înălţimi trapezului.
b)sa se calculeze aria trapezului.
c)aflaţi lungimea diagonalei BD
d)aflaţi măsurile unghiurilor ADB si ABD
2.Calculati aria si perimetrul unui trapez dreptunghic si ortodiagonal ce are bazele de 5 centimetri respectiv 20 centimetri .

Answer 1

1.
a) BC = AD = 8 cm
Ducem DM si CN _I_ AB     ( DM =CN)
AM = BN = (AB-CD) / 2 = (16-8) /2 = 4 cm
Δ ADM ≡ Δ NCB

In Δ ADM, dr. in M :
DM² = AD² -AM²
DM² = 64-16
DM² = 48
DM = h trapez = 4√3 cm

b) A = (B+b) × h / 2 = (AB+DC) × DM / 2 = (16+8) × 4√3 / 2 = 48√3 cm²

c) In Δ BDM , dr. in M :
BM =MN +BN = 8 +4 = 12 cm
BD² =BM² +DM²
BD² = 12² +(4√3)²
BD² = 192
BD = 8√3 cm

d) In Δ BDM, dr. in M :
DM = BD/2 = 8√3 / 2 = 4√3 (cateta este 1/2 din ipotenuza)
⇒ m(<MBD) = 30 grade ( cf.teoremei unghiului de 30 grade)
si m(<ABD) = m(<MBD) =30 grade
⇒m(<MDB) = 60 grade

In Δ ADM, dr. in M :
cateta AM este 1/2 din ipotenuza AD 
AM = AD/2 = 8/2 = 4
⇒ m(<ADM) = 30 grade

m(<ADB) = m(<ADM) + m(MDB) = 30 + 60 = 90 grade

2. In trapezul dreptunghic ortodiagonal:
h = √ (B ×b)                    (inaltimea este egala cu media geometrica a celor 2 baze)
⇒ h=√(20×5) =√100 = 10 cm

A = (B+b) × h / 2 = 25 × 10 / 2 = 125 cm²
Notam trapezul ABCD, AB II CD, m(<DAB)=m(<ADC) = 90 grade
h= AD = CN = 10 cm      (CN _I_AB)

In Δ CNB, dr. in N :
NB = AB - CD = 20 -5 = 15 cm
BC² = CN² +NB²
BC² = 10² + 15²
BC² = 325
BC = 5√13 cm

P trapez ABCD = AB +BC +CD +AD = 20 +5√13 +5 +10 =35 + 5√13 =5(7+√13) cm