Question

1. Aflati a, b, c , stiind ca {a , b c } d.p. {2 , 3 , 5 } si a + b + c = 20
2. Aflati x , y , z cunoscand ca {x,y,z] i.p {2,3,6} si x-y+z = 15
3. Daca {a , b , c } d.p. {6,4,3} , aflati m , n apartine N astfel ca 2a = m x b = n x c
4. Gasiti a,b , c stiind ca {a ,b ,c } i.p. {0,5 ; 0,(3) ; o,1(6)} iar a +2c = 70
5. Stiind ca {x , y ,z } d.p. {9 ,4 ,6 } aflati $\frac{x+3y}{2x+z}$

Answer 1

1. din relatia de directa proportionalitate obtinem : a/2 = b/3 = c/5
din a/2=b/3 => a=2b/3
din b/3=c/5 => c=5b/3

in a+b+c=20 inlocuim cu rezultatele de mai sus si => 2b/3+b+5b/3=20 . aducem la acelasi numitor => 10b/3=20 => 10b = 60 => b=6
a= 2b/3 =>a = 4
c= 5b/3 => c=10

2. din relatia de i.p. => 2x=3y=6z
din 2x=3y => x=3y/2
din 3y=6z => z= 3y/6 => z= y/2

in relatia x-y+z=15 inlocuim cu relatiile de mai sus => 3y/2-y+y/2 = 15. aducem la acelasi numitor => 2y/2=15 => y=15
x= 3y/2=> x=45/2
z=y/2 => z=15/2

3. din relatia de d.p. => a/6=b/4=c/3 
din a/6=b/4 => b=4a/6 => b=2a/3
din a/6=c/3 => c= 3a/6 => c=a/2

in relatia 2a=mb=nc inlocuim => 2a=m* 2a/3 = n*a/2
din 2a=m*2a/3 => m=3
din 2a= n* a/2 => n=4

4. din relatia de i.p. => 0,5a = 0,(3)b= 0,1(6) c
rescriem fractiile drept fractii ordinare: 0,5 = 1/2; 0,(3)= 3/9 = 1/3, iar 0,1(6) = (16-1)/90 = 15/90=1/6
prin urmare: a/2= b/3=c/6
din a/2=c/6 => c= 3a
inlocuim in a+2c=70 => a+6a=70 => 7a=70 => a=10
c=3a=> c=30
din a/2=b/3 obtinem b=3a/2 => b=3*10/2 => b=15

5. din relatia de d.p. => x/9=y/4=z/6 
din x/9=y/4 => y= 4x/9
din x/9=z/6 => z=6x/9 => z=2x/3

inlocuim in (x+3y)/ (2x+z) = (x+ 3* 4x/9) / (2x+ 2x/3) = (x+4x/3)/(2x+ 2x/3) aducem la acelasi numitor => (7x/3)/(8x/3) =7/8