Question

1) Aflati cel mai mic numar natural care impartit la 25,45,50 da restul 7
2) Aflati cel mai mic numar natural si c.m.m.d al numerelor:
a) 60;48;71
b) 216;300;720
c)84;90;210
d)44;132;198

Answer 1

1) Pentru a afla cel mai mic numar natural care impartit la 25, 45 si 50 da restul 7, putem folosi metoda lui Euclid pentru a gasi cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Pasii sunt urmatorii:

Scriem fiecare numar ca un produs de factori primi: 25 = 5^2, 45 = 3^2 * 5, 50 = 2 * 5^2.
Determinam cea mai mare putere a fiecarui factor prim comun: 5^2, 3^2 * 5, 2 * 5^2.
Inmultim factorii primi comuni cu puterile lor cele mai mari: 5^2 * 3^2 * 2 = 450.
Adaugam restul 7 la rezultatul obtinut: 450 + 7 = 457.
Astfel, 457 este cel mai mic numar natural care impartit la 25, 45 si 50 da restul 7.

2) Pentru a afla cel mai mic numar natural si cel mai mic multiplu comun (c.m.m.d) al numerelor din fiecare din cele patru perechi de numere date, putem folosi metoda lui Euclid pentru a gasi c.m.m.d-ul acestora.

a) 60; 48; 71

Pasii sunt urmatorii:

Scriem fiecare numar ca un produs de factori primi: 60 = 2^2 * 3 * 5, 48 = 2^4 * 3, 71 = 3 * 23.
Determinam cea mai mare putere a fiecarui factor prim comun: 2^2 * 3 * 5, 2^4 * 3, 3 * 23.
Inmultim factorii primi comuni cu puterile lor cele mai mari: 2^2 * 3 * 5 = 120.
Astfel, 120 este c.m.m.d-ul numerelor 60, 48 si 71. Cel mai mic numar natural care este divizibil cu aceste numere este 120, deoarece acesta este cel mai mic multiplu comun al lor.

b) 216; 300; 720

Scriem fiecare numar ca un produs de factori primi: 216 = 2^3 * 3^3, 300 = 2^2 * 3 * 5^2, 720 = 2^4 * 3^2 * 5.
Determinam cea mai mare putere a fiecarui factor prim comun: 2^3 * 3^3, 2^2 * 3 * 5^2, 2^4 * 3^2 * 5.
Inmultim factorii primi comuni cu puterile lor cele mai mari: 2^3 * 3^3 = 216.
Astfel, 216 este c.m.m.d-ul numerelor 216, 300 si 720. Cel mai mic numar natural care este divizibil cu aceste numere este 216, deoarece acesta este cel mai mic multiplu comun al lor.

c) 84; 90; 210

Scriem fiecare numar ca un produs de factori primi: 84 = 2^2 * 3 * 7, 90 = 2 * 3^2 * 5, 210 = 2 * 3 * 5 * 7.
Determinam cea mai mare putere a fiecarui factor prim comun: 2^2 * 3 * 7, 2 * 3^2 * 5, 2 * 3 * 5 * 7.
Inmultim factorii primi comuni cu puterile lor cele mai mari: 2^2 * 3 * 5 * 7 = 840.
Astfel, 840 este c.m.m.d-ul numerelor 84, 90 si 210. Cel mai mic numar natural care este divizibil cu aceste numere este 840, deoarece acesta este cel mai mic multiplu comun al lor.

d) 44; 132; 198

Scriem fiecare numar ca un produs de factori primi: 44 = 2^2 * 11, 132 = 2^3 * 3 * 11, 198