Question

1)aflati masurile unghiurilor dintre diagonalele unui paralelogram ce are aria egala cu 80√2 si diagonalele de lungimi 20 respectiv 16. 2)calculati aria unui dreptunghi ABCD care are AC=12 SI m(BAD)=30° 3) aria trapezului dreptunghic ABCD cu AB||CD, m( A)=90°, AC=2√7 BC =6 AC perpendicular BC VA ROG AJUTATI-MA ESTE URGENT

Answer 1

1)
Presupunem ca BD=20 si AC=16, unde BD si AC sunt diagonalele paralelogramului. O sa vezi ca nu conteaza cum le luam

Paralelogramul ABCD este impartit in doua triunghiuri arii egale de oricare dintre diagonalele sale.
Sa spunem ca BD ar fi acea diagonala. Atunci stim ca:
$A_{ABD}=A_{BCD}=\frac{1}{2}A_{ABCD}$ din moment ce cele doua triunghiuri adunate dau toata aria lui ABCD
Stim ca diagonalele intr-un paralelogram se intersecteaza a jumatate. Daca notam acea intersectie cu O, atunci avem O mijlocul lui BD, de unde rezulta $OB=OD=\frac{20}{2}=10$
$OA=OC=\frac{16}{2}=8$
Daca ne uitam in triunghiul ABD, vedem ca AO cade la mijlocul segmentului BD. Atunci AO este mediana in ABD. Mediana intr-un triunghi imparte aria totala in doua triunghiuri de arie egala. Avem atunci:

$A_{AOB}=\frac{1}{2}A_{ABD}=\frac{1}{2}\frac{1}{2}A_{ABCD}=\frac{80\sqrt(2)}{4}=20\sqrt{2}$
Dar stim ca aria unui triunghi poate fi calculata ca
$A_{\triangle}=\frac{\sin{a}bc}{2}$ unde b si c sunt laturile opuse unghiurilor cu acelasi nume
In cazul nostru, folosindu-ne de laturila OA si OB si de unghiul dintre ele, avem
$A_{AOB}=\frac{\sin{AOB}*OA*OB}{2}=\frac{\sin{AOB}*10*8}{2}=40*\sin{AOB}=20\sqrt{2}$ de unde rezulta ca
$\sin{AOB}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle{AOB}=30$

2) Nu cred ca este dreptunghiul ABCD, cred ca este ACBD, altfel nu ai avea unghiul $\angle{BAD}=30$ ci ar fi $\angle{BAD}=90$
Mai verifica o data enuntul si spune-mi daca e asa sau ai copiat gresit enuntul, poate o rezolv intr-un post separat
3) AC perpendicular pe BC, avem triunghiul dreptunghic ACB cu $\angle{ACB}=90$
 atunci avem catetele BC=6 si $AC=2\sqrt{7}$ deci putem afla ipotenuza AB din teorema lui Pitagora
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=36+4*7=36+28=64\Rightarrow AB=8$
Ducem inaltimea din C pe baza AB si o notam cu M la intersectie

Pentru un triunghi dreptunghic putem afla Aria in doua moduri
1) $A_{dreptunghic}=\frac{cateta1*cateta2}{2}$
2) $A_{dreptunghic}=\frac{ipotenuza*inaltimea}{2}$
Rezulta din cele doua metode ca:
[tex\]frac{cateta1*cateta2}}{2}=\frac{ipotenuza*inaltimea}{2}[/tex] inlocuind pentru triunghiul dreptunghic ACB
$\frac{AC*BC}{2}=\frac{AB*CM}{2} \Rightarrow CM=\frac{AC*BC}{AB}=\frac{2\sqrt{7}*6}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$

Daca ne uitam in triunghiul CMB, stim ca $\angle{CMB}=90$ fiindca CM perpendiculara pe AB. De aici rezulta ca avem catetele CM si MB, cu BC ipotenuza. Din teorema lui Pitagora il putem afla pe MB
$MB^{2}=BC^{2}-CM^{2}=36-\frac{9*7}{4}=\frac{36*4-63}{4}=\frac{81}{4}\Rightarrow MB=\frac{3}{2}=1,5$
De aici stim ca AMCD este dreptunghi, deci CD=AM=AB-MB=8-1.5=6.5

Aria unui trapez este:


$A_{ABCD}=\frac{(AB+CD)*CM}{2}=\frac{(8+6.5)*\frac{3\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{14,5*3*\sqrt{7}}{4}$


2) Daca asa e textul, atunci ai dreptunghiul ACDB
Triunghiul ABD este dreptunghic cu $\angle{ABD}=90$ si $\angle{BAD}=30$
Catetele sunt AB BD, in timp ce AD ipotenuza. BD=AC=12 este lungimea dreptunghiului, deci mai trebuie sa aflam latimea.
stim ca in general$\tan=\frac{cateta opusa}{cateta alaturata}$
In cazul nostru
$\tan{BAD}=\frac{BD}{AB}=\frac{12}{AB}=\tan{30}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
atunci $AB=12\sqrt(3)$
Si atunci aria este $A_{ABCD}=AB*BD=12*12\sqrt(3)=144\sqrt{3}$