Question

1. Aflati n ∈ N , astfel incat:

a) n divizibil cu 3 si 3 < n < 21

b) (n+1) divizibil cu 4 si 12 $\leq$ n < 36

c) (3n + 2 ) divizibil cu 5 si 1 < n < 15

d) ( 5*n + 4 ) divizibil cu 6 si 3 < n $\leq \leq$ 11


2. a) Daca x = 22 · a + 55 · b unde a,b ∈ N , aratati ca x e divizibil cu 11

b) Daca x = 38 · a + 57 · b unde a,b ∈ N , aratati ca 19 | x

c) Daca x = 3 · a + 8 · b + 5 · c si y = 6 · a + b + 4 · c, unde a,b,c ∈ N aratati ca 9 | (x+y+z) si (x+y+z) e divizibil cu (a+b+c)

d) Daca x = 3 · a + 2 · b si y= 2 · a + 3 · b unde a,b ∈ N si a > b aratati ca (x+y) ·(x-y) e divizibil cu (a + b ) · (a - b)

Answer 1

a) n divizibil cu 3 si 3 < n < 21
n∈M3 => n={6,9,12,15,18}

b) (n+1) divizibil cu 4 si 12 ≤ n < 36 
n+1∈M4 => n+1= {12,16,20,24,28,32} => n={11,15,19,23,27,31}

c) (3n + 2 ) divizibil cu 5 si 1 < n < 15 
3n+2 ∈M5 => 3n+2 = {5,10} => n={1, 8/3}

d) ( 5n + 4 ) divizibil cu 6 si 3 < n ≤11 
5n+4 ∈M6 => 5n+4 = {6} => n={2/5}

2. a) Daca x = 22 · a + 55 · b unde a,b ∈ N , aratati ca x e divizibil cu 11 
x= 11* (2a+5b) => x divizibil cu 11

b) Daca x = 38 · a + 57 · b unde a,b ∈ N , aratati ca 19 | x 
x= 19 * (2a+3b) => 19 | x

c) Daca x = 3 · a + 8 · b + 5 · c si y = 6 · a + b + 4 · c, unde a,b,c ∈ N aratati ca 9 | (x+y+z) si (x+y+z) e divizibil cu (a+b+c) 
Z= ?? 

d) Daca x = 3 · a + 2 · b si y= 2 · a + 3 · b unde a,b ∈ N si a > b aratati ca (x+y) ·(x-y) e divizibil cu (a + b ) · (a - b)
x+y = 3a+2b+2a+3b = 5a+5b = 5(a+b)
x-y = 3a+2b-2a-3b = a-b
(x+y)(x-y) = 5(a+b)(a-b) e divizibil cu (a+b)(a-b)