Question

1. Aflati numerele naturale care impartite la 37 dau restul egal cu catul.
2. calculati suma numerelor naturale care impartite la 8 dau catul 13.
3.diferenta a doua nr.nat. este 348.Impartind numarul mai mare la dublul numarului mai mic obtinem restul 65 si catul 1. Aflati cele doua nr..
4.restul obtinut prin impartirea numarului nat. x la 24 este 11, iar restul obtinut prin impartirea numaruli natural y la 39 este 22.
a)aflati restul impartirii numerelor x si y la 12.
b)aflati restul impartirii numerelui 3*x+2*y la 72.
c)aflati ultima cifra a numarului 15 *x +5*y.

Answer 1

1.  n = 37a + a  = 38a      a < 37       a ∈ {0,1,2,3......36}⇒ n ∈{0,38,76,.....1368}
2.  n = 8·13 + r    r ∈ {0,1,2,3,.....7}    n {104,105,106........111}
S = 104 + (104+1) +(104+2)+ .....+(104 + 7) = 104·8 + (1 + 2 +3 +.....+7)
S = 832 + 28 = 860
3.  a - b = 348
a = 2b + 65    2b + 65 - b  = 348      b = 283     a = 631
4.  x = 24a + 11      x : 12 = 24a: 12 + 11: 12 = 2a + 11: 12      r = 11 
y = 39b + 22    y = 36b +12 + 3b + 10      y: 12 = 3b + 1 + (3b + 10):12
(3b+10): 12 = 3b : 12 + 10: 12 = b : 4 + 5: 6    r ∈ {0+5, 1+ 5, 2+5,  3 +5} ⇔
r ∈ {5,6,7,8}
b) 3x + 4y = (24a + 11)·3 + (39b + 22)·4 = 72a + 33 + 156b + 88 =
= 72a + 156b + 121 =  72a + 144b +12b + 72 + 49 = 72(a+2b +1) +12b +49
(12b + 48 + 1): 72 = 12b : 72 + 48: 72 + 1: 72 = b: 6 + 2:3 + 1: 72
r ∈ { (0+2 +1), (1 + 2 + 1), (2+ 2 + 1) ,(3 + 2 + 1), (4 + 2 + 1), (5+ 2+ 1)}
r ∈{3,4,5,6,7,8}
c) 15x + 5y = 5(3x + y) = 5(72a + 33 + 39b + 22) = 360a + 195b + 275
U360a = 0      U195b = 0 (ptr. b par), sau 5 (ptr. b impar)  U275 = 5
U(15x + y) ∈ {5,0}