Question

1.Aflati perimetrul trapezului isoscel ABCD,AB paralel CD,in care se stie ca AC perpendicular AD,AC=40 cm,DC=50 cm. 2.Aflati perimetrul trapezului ABCD isoscel,AB paralel CD,stiind ca AB=12 cm,DC=18 cm si inaltimea trapezului este de 4 cm.

Answer 1

Ai desenul atasat pentru ambele probleme.

1. In ΔACD dreptunghic in A aplicam Teorema lui Pitagora:

$DC^{2} = AC^{2} + AD^{2}$, deci:

$AD^{2} = CD^{2} - AC^{2}$

$AD^{2} = 50^{2} - 40^{2}$

AD=30 cm

Construim AA' perpendicular pe DC si BB' perpendicular pe DC. Obtinem dreptunghiul ABB'A', cu AB=A'B', iar AA' este inaltime in ΔACD dreptunghic, deci putem exprima aria ΔACD in doua moduri:

$\frac{AC*AD}{2} = \frac{AA'*CD}{2}$, de unde:

$\frac{40*30}{2} = \frac{AA'*50}{2}$, deci:

AA'=24 cm

In ΔAA'D dreptunghic in A' aplicam Teorema lui Pitagora:

$AD^{2} = A'A^{2} + A'D^{2}$, deci:

$A'D^{2} = 30^{2} - 24^{2}$

A'D=18 cm

Dar ΔADA' dreptunghic ≡ΔBCB' dreptunghic (I.U.), deoarece AD=BC si <ADA'≡<BCB' (din trapezul isoscel), deci DA'≡CB'=18 cm si
A'B'=CD-DA'-CB'=50-18-18=14 cm=AB, deci

Perimetrul trapezului ABCD=AB+BC+CD+AD=14+30+50+30=124 cm


2. Construim AA' perpendicular pe DC si BB' perpendicular pe DC. Obtinem dreptunghiul ABB'A', cu AB=A'B'=12 cm, iar AA'=4 cm este inaltime in trapezul ABCD.

ΔADA' dreptunghic ≡ΔBCB' dreptunghic (I.U.), deoarece AD=BC si <ADA'≡<BCB' (din trapezul isoscel), deci A'B'=AB=12 cm si
 DA'≡CB'=(18-12):2=3 cm.

In ΔADA' dreptunghic in A' aplicam Teorema lui Pitagora:

$AD^{2} = A'A^{2} + A'D^{2}$, deci:

$AD^{2} = 4^{2} + 3^{2}$

AD=5 cm

Perimetrul trapezului ABCD=AB+BC+CD+AD=12+5+18+5=40 cm