Question

1)Aflati probabilitatea ca ,alegand un numar de la 1 la 25,acestea sa fie numar prim cu 12.(imi explica-ti va rog si cum ati facut si ceea ce trebuie facut)
2)Determinati m∈R pt care ecuatia (m-5)x²-4mx+m-2=0 are radacina x=2
3)Rezolvati in C ecuatia 16x⁴+81=0(cum adica in C,si cum se fac exercitiile de genul.Imie xplica si mie cineva va rog)
4)In sistemul de coordonare xOy se considera dreptele de ecuatii d:x+2y+6=0, d₂:2x+y+6=0, d₃:3x+2y+10=0
Aratati ca dreptele sunt concurente.
5)Calculati sin x daca $tg \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

VA ROG MULT
MULTUMESC ANTICIPAR PTR PERSOANA CARE MA VA AJUTA
DACA MA VA AJUTA CINEVA

Answer 1

2 numere sunt prime intre ele daca cel mai mare divizor comun al lor este 1.
(a,b)=1. Pentru a rezolva acest exercitiu, il desparti pe 12 in factori primi, si apoi numeri toate numerele din interval care nu au vreun factor prim comun  cu factorii primi ai lui 12
$12=2^{2}*3$ deci 5 este prim cu 12, dar 8 nu este$8=2^{3}$ deci are un factor prim comun, si anume 2.
Toate numerele pare sunt divizibile cu 2, deci numerele pare sunt excluse din start. Sunt in total: 25:2=12 numere pare, deci acestea sunt excluse
Acum mai excludem si multiplii lui 3 care sunt in numar de  25/3=8 divizori, adica 3*1,3*2,3*3..3*8
Dar vezi ca unii dintre termenii acestia sunt si pari, deci deja i-am exclus, singurii termeni care mai raman sunt 3*1 3*3 3*5 3*7
Avem atunci
$cazuri nefavorabile=12+4=16$ si am spus cazuri nefavorabile pentru ca pe acestea vrem sa le excludem
Acum ne uitam cate sunt cazuri favorabile
$cazuri favorabile=25-16=9$ Daca vrei le si pot enumera: 1,5,7,11,13,17,19,23,25
Dar de obicei e bine sa gandesti asa algoritmic, sa vezi care sunt multiplii de factori primi si sa-i elimini din sir, sunt cazuri in care nu le poti numara pe toate.
Si atunci probabilitatea este
$P=\frac{cazuri favorabile}{cazuri totale}=\frac{9}{25}$
2) Daca o ecuatie are radacina x=2 atunci f(2)=0. Deci inlocuim pe x cu 2 in ecuatie si-l aflam pe m
$(m-5)*4-4*2m+m-2=4m-20-8m+m-2=-3m-22=0\Rightarrow m=\frac{22}{3}$
3) C este multimea numerelor complexe. un numar complez z se scre sub forma
$z=a+ib$ unde a si b sunt numere reale, iar i este un numar imaginare care are proprietatea ca $\sqrt{-1}=i$ dupa cum stii in multimea numerelor reale nu poti sa ai radical din nr negativ. Ei bine in C, in numere complexe poti, si atunci ai de asemenea $i^{2}=-1$ adica un numar la patrat este negativ, de aceea se numeste imaginar.
De aici rezulta ca$-i^{2}=1$ Si de asta o sa ne folosim noi in ecuatie
O sa ne mai folosim de faptul ca
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
$S=16x^{4}+1*81=16x^{4}-i^{2}*81=(4x^{2}-9i)(4x^{2}+9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(4x^{2}-i^{2}*9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(2x-3i\sqrt{i})*(2x+3i\sqrt{i})$
Deci avem solutiile
$x1=\frac{3\sqrt{i}}{2}$
$x2=-\frac{3\sqrt{i}}{2}$
$x3=\frac{3i\sqrt{i}}{2}$
$x4=-\frac{3i\sqrt{i}}{2}$
d) Vedem mai intai intersectia a doua drepte, si apoi verificam daca a treia trece tot pe-acolo. presupunem ca avem punctul A(a,b) comun dreptelor d1 si d2. Atunci, inlocuim pe x cu a, si pe y cu b, si rezolvam sistemul de ecuatii
$d1:a+2b=6\Rightarrow 2b=-6-a\Rightarrow b=\frac{-6-a}{2}=-\frac{6+a}{2}[tex] Inlocuim acum in ecuatia a doua pe b [tex]d2:2a+b+6=2a-\frac{6+a}{2}+6=0\Rightarrow 4a-6-a+12=0\Rightarrow 3a+6=0\Rightarrow a=-\frac{6}{3}=-2$
Atunci inseamna ca
$b=-\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=-2$
deci punctul ar fi A(-2,2) Daca toate trei dreptele ar fi concurente, inseamna ca si la dreapta d3 l-ar contine pe A, adica inlocuind pe x si y in ecuatia dreptei 3 cu -2 si 2, obtinem tot 0. Sa vedem ce se intampla daca facem asta
$3*(-2)+2*(-2)+10=-6-4+10=-10+10=0$
Deci intr-adevar A este concurenta celor 3 drepte
5) Avem urmatoarea relatie: orice ecuatie te tipul tgx=a admite solutia
x=arctg(a)+k*pi, unde k este un nr intreg. arctg este functia inversa tangentei si perioada functiei este pi, asadar adunand sau scazand cu un multiplu de pi, obtii tot o solutie. In cazul nostru
$tg\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{x}{2}=arctg\frac{1}{2}+k\pi\Rightarrow x=2arctg\frac{1}{2}+2k\pi$