Question

1. Aflati suma numerelor naturale n, mai mici ca 100 pentru care fractia 8n+7/6n+1 ,n apartine N, este reductibila.

2. Scrieti 2015 la 2015 ca o suma de 2015 numere naturale consecutive.

Answer 1

(8n+7)/(6n+1)  ∈ N  ⇔    exista un d astfel incat :
d  | (8n+7) ⇒ d | 3(8n+7) = 24n + 21      (1)
d | (6n+1)  ⇒ d | 4(6n+1) = 24n+4        (2)
⇒ d | [(1) - (2)] ⇒  d | 17
⇒   d ∈ D17    ⇒ d = 17 
8n + 7 = 17a
6n + 1 = 17b  ⇒⇒(2n+6) = 17(a-b)            2(n+3) = 17(a-b)
2 nu divide 17 ⇒⇒ (n+3) | 17    ⇒⇒  n + 3 = 17k      n = 17k - 3    k ∈ N*
⇒⇒ n ∈ {14,31,48, 65, 82, 99}
S = (14 + 99) + (31 + 82) + (48 + 65) = 3·113 = 339
2.  2015^2015 = 2015²·2015^2013 =
 =(2015^2013 - 1007) + (2015^2013 - 1006) + .......+(2015^2013 -1) +
+2015^2013 + (2015^2013 +1) +.........+ (2015^2013 + 1007) =
= 2015·2015·2015^2013