Question

1. Arata ca numarul a=1+5+$5^{2} + .... + 5^{2013}$ este divizibil cu 6
2.in ce cantitae de apa trebuie dizolvate 450 g de sare pentru a ontine o soultie cu concentratia de 9/100?

Answer 1

1)
5⁰ + 5¹ + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ + 5⁷....+ 5²⁰¹² + 5²⁰¹³ = 
= 5⁰(1 + 5) +5²(1+5) + 5⁴(1 + 5) + 5⁶(1 + 5) + ...... + 5²⁰¹²(1 + 5) =
= (1 + 5)(5⁰ + 5² + 5⁴ + 5⁶ + .... + 5²⁰¹²) =
= 6(5⁰ + 5² + 5⁴ + 5⁶ + ... + 5²⁰¹²)  Acest numar este divizibil cu 6 pentru ca este un produs de doi factori din care unul este egal cu 6.

2)
Concentratia este data de cantitatea de sare supra cantitatea de solutie  (sare + apa)
Avem ecuatia:
450 / (450 + x) = 9 / 100
unde x = cantitatea de apa

450 * 100 = 9(450 + x)
45000 = 4050 + 9x
9x = 45000 - 4050
x = 40950 / 9 = 4550 g apa

Proba:
cooncentratia = 450 / (4550 + 450) = 450 / 5000 = 45 / 500 = 9 / 100