Question

1)Aratati ca: 1 pe 2·3 + 1 pe 3·4 + 1pe 4·5 +....+1 pe 2011·2012 = 2011 pe 2012

2')Aratati ca: 1 pe 10 este MAI MIC ca 1 pe 90+ 1 pe 91 +...+1 pe 99 este mai mic ca 1 pe 9

3)aratati ca: 1 pe 3² + 1 pe 4² +....+1 pe 201² mai mic ca 1 pe 2

4) Aratati ca 1 pe 2²+2 pe 4²+1 pe 6²+.....+1 pe 2006² este mai mic ca 2005 pe 4012.

Answer 1

1) Enuntul este cu siguranta incomplet: lipseste 1/(1*2) de la inceput pentru a obtine egalitatea ceruta. Asadar, completand "veriga lipsa", avem:

$\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{2011*2012}$ =

=$\frac{2-1}{1*2} + \frac{3-2}{2*3} + \frac{4-3}{3*4} + ... + \frac{2012-2011}{2011*2012}$ =

=$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012}$ =

=$\frac{1}{1} - \frac{1}{2012}$ =

=$\frac{2011}{2012}$

2) Avem de aratat ca:

$\frac{1}{10} < \frac{1}{90} + \frac{1}{91} + \frac{1}{92} + ... + \frac{1}{99} < \frac{1}{9}$

Observam ca avem de aratat ca suma a 10 fractii este cuprinsa intre doua fractii.
Amplificand cu 10 fractiile $\frac{1}{10}$ si $\frac{1}{9}$ obtinem expresia echivalenta:

$\frac{10}{100} < \frac{1}{90} + \frac{1}{91} + \frac{1}{92} + ... + \frac{1}{99} < \frac{10}{90}$

Avem:

$\frac{1}{100} < \frac{1}{90} < \frac{1}{90}$

$\frac{1}{100} < \frac{1}{91} < \frac{1}{90}$

$\frac{1}{100} < \frac{1}{92} < \frac{1}{90}$

.....................

$\frac{1}{100} < \frac{1}{99} < \frac{1}{90}$

si daca insumam membru cu membru cele 10 inegalitati de mai sus obtinem:

$\frac{10}{100} < \frac{1}{90} + \frac{1}{91} + \frac{1}{92} + ... + \frac{1}{99} < \frac{10}{90}$

adica ceea ce am vazut la inceput ca este echivalent cu ceea ce se cerea sa se demonstreze.

3) Avem de aratat ca:

$\frac{1}{ 3^{2} } + \frac{1}{ 4^{2} } + ... + \frac{1}{ 201^{2} } < \frac{1}{2}$

Cum:

$\frac{1}{ 3^{2} } < \frac{1}{2*3}$ = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{ 4^{2} } < \frac{1}{3*4}$ = $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

......................

$\frac{1}{ 201^{2} } < \frac{1}{200*201}$ = $\frac{1}{200} - \frac{1}{201}$

insumand membru cu membru inegalitatile de mai sus obtinem:

$\frac{1}{ 3^{2} } + \frac{1}{ 4^{2} } + ... + \frac{1}{ 201^{2} } < \frac{1}{2} - \frac{1}{201} < \frac{1}{2}$

(c.c.t.d.)

4) Avem de aratat ca:

[tex] \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 4^{2} } + \frac{1}{ 6^{2} } + ... + \frac{1}{ 2006^{2} } < \frac{2005}{4012} [/tex]

Dam factor comun pe $\frac{1}{ 2^{2} }$ in ambii membri si obtinem:

[tex] \frac{1}{ 2^{2} } *( \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + ... + \frac{1}{ 1003^{2} } )< \frac{1}{ 2^{2} } * \frac{2005}{1003} [/tex]

si impartind ambii membri la $\frac{1}{ 2^{2} }$ obtinem relatia echivalenta (pe care o avem de demonstrat):

[tex] \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + ... + \frac{1}{ 1003^{2} } < \frac{2005}{1003} [/tex]

Avem:

$\frac{1}{ 2^{2} } < \frac{1}{1*2}$ = $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{ 3^{2} } < \frac{1}{2*3}$ = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{ 4^{2} } < \frac{1}{3*4}$ = $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

.....................

$\frac{1}{ 1003^{2} } < \frac{1}{1002*1003}$ = $\frac{1}{1002} - \frac{1}{1003}$

si insumand inegalitatile de mai sus, impreuna cu $\frac{1}{ 1^{2} }$ obtinem:

[tex] \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + ... + \frac{1}{ 1003^{2} } [/tex] < $\frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} +\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{1002} - \frac{1}{1003}$

adica:

[tex] \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + ... + \frac{1}{ 1003^{2} } [/tex] < $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} - \frac{1}{1003}$ = $2 - \frac{1}{1003}$ =$\frac{2005}{1003}$

(c.c.t.d.)