Question

1.Aratati că 10 la n + 314 este divizibil cu 9, pentru orice număr natural n.

2. Arătați că numărul N=7 la n ×9 la n +21 la n+1×3 la n - 9×63 la n este divizibil cu 13, pentru orice număr natural n.

Va rog ajutați-ma!!! dau 40 de puncte!

Answer 1

1) 10ⁿ = 10...00 (n de 0)

=> 10ⁿ + 314=10...00 +314

Conform criteriului de divizibilitate cu 9, un nr. este divizibil cu 9 daca suma cifrelor numarului se divide cu 9 (se imparte exact la 9)

10ⁿ +314 are suma cifrelor 1+0+...+0+3+1+4=9 si 9 este divizibil cu 9

=> 10ⁿ

=> 314 e divizibil cu 9.

2)7ⁿₓ9ⁿ+21ⁿ⁺¹ₓ3ⁿ-9ₓ63ⁿ=(7ₓ9)ⁿ+(3ₓ7)ⁿₓ21ₓ3ⁿ-9ₓ63ⁿ=63ⁿ+3ⁿₓ7ⁿₓ3ⁿₓ21-9ₓ63ⁿ=

=63ⁿ+(3ₓ7ₓ3)ⁿₓ21-9ₓ63ⁿ=63ⁿ(1+21-9)=63ⁿₓ13 este divizibil cu 13, deoarece un factor din produs e 13.