Question

1. Arătaţi că √3(2-√2)+√2 (√3 −√6) = 0.
2. Se consideră funcția f:R→R,f(x)=x²-2. Determinați numerele reale a,știind că f(a)= a.
3. Rezolvați in multimea numerelor reale ecuația 2la puterea 7x-5=4la puterea x.
4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din multimea A= (1, 2, 3, 4, 5), acesta să verifice relația 2la puterea n ≤16.
5. In reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,2), N(4,3) şi P(6,1). Determinati lungimea segmentului MO. unde este mijlocul segmentului NP.
6. Arătaţi că sin 30° + sin 45°-cos 60°-cos 45°=0.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1. Arătaţi că √3(2-√2) + √2(√3−√6) = 0

$2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 0$

2. Se consideră funcția f:R→R,f(x)=x²-2. Determinați numerele reale a,știind că f(a)= a

$f(a)= a = > {a}^{2} - 2 = a$

${a}^{2} - a + 2 = 0$

$(a + 1)(a - 2) = 0$

=>

$a = - 1 \\ a = 2$

3. Rezolvați in multimea numerelor reale ecuația 2 la puterea 7x-5 = 4la puterea x

${2}^{7x - 5} = {4}^{x}$

${2}^{7x - 5} = {2}^{2x}$

$7x - 5 = 2x \\ 5x = 5 = > x = 1$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din multimea A= (1, 2, 3, 4, 5), acesta să verifice relația 2la puterea n ≤16.

mulțimea A are 5 elemente => 5 cazuri posibile

${2}^{n} \leqslant 16 < = > {2}^{n} \leqslant {2}^{4} = > n \leqslant 4$

=> n ∈ {1; 2; 3; 4}

sunt 4 cazuri favorabile

$p = \frac{nr. \: cazuri \: favorabile}{nr.cazuri \: posibile} = \frac{4}{5}$

5. In reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,2), N(4,3) şi P(6,1). Determinati lungimea segmentului MO, unde O este mijlocul segmentului NP.

coordonatele mijlocului segmentului NP:

$\frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

=> O(5;2)

$MO = \sqrt{ {(1 - 5)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} } = \sqrt{16} = 4$

6. Arătaţi că sin 30° + sin 45°-cos 60°-cos 45°=0.

$\sin(30) + \sin(45) - \cos(60) - \cos(45) = \\ = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$