Question

1) Aratati ca numarul A= 2 la puterea 30 + 2 la puterea 31 +2 la puterea 32 este divizibil cu 7.
     Scriem A=2 la 30 (1+2+2 la 2)
    Aratati ca B= 3 la 30 +3 la 32+3 la 34 este divizibil cu 13.
     Aratati ca numarul B= 1+3 la 1+3 la 2+.....+3 la 61 este divizibil cu 4.
   Aratati ca numarul C=1+2 la 1+2 la 2 +.....+2la 71 este divizibil cu 5.

Answer 1

$3^{30}+3^{32}+3^{34}=3^{30}\left(1+3^2+3^4\right)=\\=3^{30}(1+9+81)=3^{30}\cdot 91=3^{30}\cdot 7\cdot 13$

$1+3+3^2+3^3+\ldots+3^{61}=\\=(1+3)+\left(3^2+3^3\right)+\ldots+\left(3^{60}+3^{61}\right)=\\=4+3^2\cdot4+3^4\cdot 4+\ldots 3^{60}\cdot 4$

$1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{71}=\\=\left(1+2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6+2^7\right)+\\+\ldots+\left(2^{68}}+2^{69}+2^{70}+2^{71}\right)=\\=15+2^4\cdot 15+\ldots 2^{68}\cdot 15$

Answer 2

$A= 2^{30}(1+2+ 2^{2})= 2^{30}$×7
$B= 3^{30} (1+ 3^{2}+ 3^{4} )= 3^{30}$×91=$3^{30}$×7×13
$B=(1+3)+ 3^{2} (1+3)+...+ 3^{60} (1+3)=4( 1+3^{2} +...+ 3^{60})$
$B=1+ 2^{1} +... 2^{71} = 2^{72} -1$  - ultima cifra a acestei expresii este ultima cifra a lui $2^{72} -1$  -   ultima cifra a lui $2^{72}$ este 6⇒ ultima cifra a expresiei este 5