Question

1) Aratati ca numarul A= 2 la puterea 30 + 2 la puterea 31 +2 la puterea 32 este divizibil cu 7.
Scriem A=2 la 30 (1+2+2 la 2)
Aratati ca B= 3 la 30 +3 la 32+3 la 34 este divizibil cu 13.
Aratati ca numarul B= 1+3 la 1+3 la 2+.....+3 la 61 este divizibil cu 4.
Aratati ca numarul C=1+2 la 1+2 la 2 +.....+2la 71 este divizibil cu 5.

Answer 1

1.  A = 2³⁰(1+2+4) = 7ₓ2³⁰ = divizibil cu 7
B = 3³⁰(1 + 9 + 81) = 91ₓ3³⁰ = 7ₓ13ₓ3³⁰ = divizibil cu 13
B = 1 + 3 + 3² + ......+3⁶¹ = (1+3) + 3²(1+3) +.....+ 3⁶⁰(1+3) =
= 4(1+ 3² +......+3⁶⁰) = divizibil cu 4
C = 1+2 + 2²+ ......+2⁷¹ = (1 + 2²) + 2(1+2²) +.......+2⁶⁹(1 +2²) = 5(1+2+...+2⁶⁹) = divizibil cu 5