Question

1)  aratati ca numarul  n=(100-50/rd1+3+5+...+99)la puterea99:99 este patrat perfect.                  b)calculati;   (toata fractia este sub radical) 1*2*4+2*4*8+3*6*12+...+100*200*400 (totul supra)   1*3*9+2*6*18+3*9*27+...+100*300*900      *2/3

Answer 1

a) Daca am inteles eu bine scrierea ex, ai, de fapt (respectand ordinea operatiilor si prioritatea parantezelor) puterea 99:99=1, deci ignoram puterea:
(100-50)/rd(1+3+5+...+99) unde calculam pe rand:

Stim ca suma nr impare consecutive S=1+3+5+.......+[2(k-1)+1]=k^2
Demonstratia acestui fapt:
1=2*0+1
3=2*1+1
5=2*2+1
......
2(k-1)+1=2(k-1)+1
si adunand membru cu membru, observam ca in dreapta avem indicatorul de numarare factorul care se inmulteste cu 2 (la care mai adaugam 1, de la 2*0), deci avem k termeni
S=2*[1+2+3+.....(k-1)]+k=
1+2+3+....+(k-1) este Suma Gauss de k-1 termeni si are formula (k-1)*k/2, deci
S=2*(k-1)*k/2 +k=(k-1)*k  +k=k^2+k-k=k^2
Deci radical din S va fi k=50, pentru ca 99=2*49+1, deci k-1=49.

Deci n=(100-50)/50=50/50=1, care este patrat perfect.

b) Daca am inteles eu bine si 2/3 din final este tot sub radical, luam, pe rand, numaratorul:
1*2*4+2*4*8+3*6*12+...+100*200*400 si observam ca fiecare din termeni se poate scrie in functie de primul termen:
2*4*8=(2*1)*(2*2)*(2*4)=1*2*4*2^3
3*6*12=(3*1)*(3*2)*(3*4)=1*2*4*3^3
..............
100*200*400=(100*1)*(100*2)*(100*4)=1*2*4*100^3
Deci 1*2*4+2*4*8+3*6*12+...+100*200*400=
1*2*4*(1+2^3+3^3+4^3+.....+100^3)

Numitorul:
1*3*9+2*6*18+3*9*27+...+100*300*900 si observam ca fiecare din termeni se poate scrie in functie de primul termen:
2*6*18=(2*1)*(2*3)*(2*9)=1*3*9*2^3
3*9*27=(3*1)*(3*3)*(3*9)=1*3*9*3^3
...................
100*300*900=(100*1)*(100*3)*(100*9)=1*3*9*100^3
Deci suma de la numarator este:
1*3*9+2*6*18+3*9*27+...+100*300*900=
1*3*9*(1+2^3+3^3+4^3+.....+100^3)

Scriem acum fractia astfel obtinuta cu noile forme pentru numarator si numitor si simplificam prin (1+2^3+3^3+4^3+.....+100^3), deci ramane sub radical:
[1*2*4/(1*3*9)]*2/3=4*4/(9*9), adica patratul fractiei 4/9 si cand extragem radicalul ramane doar 4/9 rezultatul final.