Question

1) Aratati ca suma a doua numere impare consecutive este divizibila cu 4.
2) Demonstrati ca suma a 3 numerenaturale consecutive este multiplu de 3
3) Aratati ca pentru oricare 3 numere naturale consecutive cel putin unul este divizibil  cu 2 si cel putin unul divizibil cu 3
4) Determinati numerele naturale x, astfel incat fractiile 2x+1/7 si 10/3x+1 sa fie ambele supraunitare

Answer 1

1) Aratati ca suma a doua numere impare consecutive este divizibila cu 4.
(2n+1) + (2n + 3)= 4n + 4 = 4 × (n + 1)
Este divizibil cu 4 deoarece este un produs de 2 factori din care  unul este 4.
cctd

2) Demonstrati ca suma a 3 numerenaturale consecutive este multiplu de 3
    n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 =3 × (n + 1)
Este divizibil cu 3 deoarece este un produs de 2 factori din care  unul este 3.
cctd

3) Aratati ca pentru oricare 3 numere naturale consecutive cel putin unul este divizibil  cu 2 si cel putin unul divizibil cu 3
a) divizibilitatea cu 2
Daca primul termen este impar, atunci urmatorul este par si este divizibil cu 2
Daca Primul este par, al doilea este impar si al 3-lea este tot par.
=> avem doua numere pare adica divizibile cu 2 
In concluzie avem 1 sau 2 numere divizibile cu 2.
b) divizibilitatea cu 3
Numerele sunt:
n;  n+1;  n+2
Daca n : 3 => rest 2,  atunci (n + 1) : 3 => rrest 2+1 = 3 deci n+ 1 este divizibil cu 3
Daca n : 3 => rest 1, atunci (n+2) : 3 => rest 1 + 2 = 3 deci n + 2 este divizibil cu 3
Daca n : 3 => rest 0, atunci n este divizibil cu 3
In concluzie avem un singur numar divizibil cu 3. 

4) Determinati numerele naturale x, astfel incat fractiile 2x+1/7 si 10/3x+1 sa fie ambele
supraunitare
Rezolvare:
2x + 1 > 7
2x > 7 -1
2x > 6
x > 6 / 2
x > 3

10 > 3x+1
10 -1 > 3x
3x < 9
x < 9 / 3
x < 3

Cele doua conditii sunt:
x > 3
x < 3
Cele doua conditii nu pot fi satisfacute simultan.
=> Problema nu are solutie

Nota:
Daca enuntul ar fi cerut: "Fractiile sa fie ambele echiunitare sau supraunitare"
atunci conditiile ar fi fost:

x ≤ 3
x ≥ 3
=> x = 3