Question

1. Aratati ca suma a patru puteri ale numarului 5 avand exponentii numere pare consecutive, se divide cu 130.

2. Aratati ca suma a cinci puteri ce au baza egala cu 2 si exponentii numere impare consecutive, se divide cu 682.

Urgent, va rog. Multumesc anticipat

Answer 1

pt n∈N, avem :

S=5^2n+ 5^(2n+2)+5^(2n+4) + 5^(2n+6)= 5^2n( 1+25+625+15625)=25^n*16276
130=5*26
16276=26*626
deci S= 25^n*26*626
pt n≥1, 25^n divizibil cu 5 si16276= 26*626 diivizibil cu 26, deci S divizibil cu 6*26=130

pt n=0,  1*16276 nu e divizibil cu 130 deci enuntul este valabil doar pt 2n≥2 adica cea mai mica putere para sa fie cel putin 2



2.
2^(2k+1) + 2^ (2k+3) +2^(2k+5)+ 2^(2k+7)+2^(2k+9)=
2^(2k+1)* (1+2²+2^4+2^6+2^8)=2 *2^(2k )* (1+4+16+64+256)=2*4^k*341=682*4^k, divizibil cu 682, ∀k∈N , adica cea mai mica putere impara poate fi si 1