Question

1. Arătați ca
$\\ 4 \sqrt{5 } - \sqrt{75} + \sqrt{108} - \sqrt{3} + \sqrt{25} - \sqrt{80} = 5$
2. Se considera funcția f:R - > R, f(x) =x+a, unde a este numărul real. Determinați numărul real a, pentru care f(1)=8

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația
$\sqrt{2x - 1} = x$

4. Determinați câte numere naturale de 2 cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8 și 9

5. În reperul cartezian xOy se considera dreapta d de ecuație y= x-2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptei d cu axa Ox

6. Se considera triunghiul ABC cu AB=6, BC=10 și AC=8.
Calculati aria triunghiului ABC

P.s: dacă poate cineva sa îmi arate cum se rezolva fiecare ex ar fi perfect

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1.$4\sqrt{5} -\sqrt{75} +\sqrt{108}- \sqrt{3} +\sqrt{25} -\sqrt{80} =4\sqrt{5} -\sqrt{25*3} +\sqrt{36*3} -\sqrt{3} +5-\sqrt{16*5} =\\ =4\sqrt{5} -5\sqrt{3} +6\sqrt{3} -\sqrt{3} +5-4\sqrt{5} =5$

=>Relatia data este adevarata.

2. f:R-> R, f(x) =x+a, unde a este numărul real.

f(1)=8

a=?

$\left \{ {{f(1)=1+a} \atop {f(1)=8}} \right. => 1+a=8=>a=8-1=7$

a=7

3. x∈R

$\sqrt{2x-1} =x$

Fiind radical de ordin par,vom pune conditii de existenta pentru expresia de sub radical.

2x-1$\geq$0=>2x$\geq$1=>x$\geq$$\frac{1}{2}$

=> x∈ [$\frac{1}{2}$,∞)   (relatia 1)

Pentru ca radicalul este egal cu necunoscuta,este nevoie sa punem si conditia de compatibilitate.Putem evita aceasta conditie daca la sfarsit verificam solutiile obtinute.

=> x$\geq$0=> x∈[0,∞)   (relatia 2)

Din relatiile 1 si 2=> x∈ [$\frac{1}{2}$,∞)

$\sqrt{2x-1} =x$  

Vom ridica la patrat intreaga ecuatie si obtinem:

2x-1=x² ⇔ x²-2x+1=0⇔ (x-1)²=0 => x-1=0 => x=1

x=1 ∈ [$\frac{1}{2}$,∞)

=>solutia ecuatiei este x=1.

4.   {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Câte numere naturale de 2 cifre distincte se pot forma cu cifrele din multimea de mai sus?

Numerele sunt de forma $\frac{}{ab}$, a≠b.

a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}  => pentru a avem 9 moduri de alegere.

b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} \{a} => pentru b avem 8 moduri de alegere.

In total sunt 9*8=72 de numere naturale care indeplinesc aceste conditii.

5. d∩Ox=> y=0 => x-2=0 => x=2.

d∩Ox={A}, A(2,0)

6. ΔABC, AB=6, BC=10, AC=8.

Aria Δ=?

Folosim formula lui Heron pentru a calcula.

A=$\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-(AC)}$, unde p este semiperimetrul triunghiului ABC.

$p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{6+10+8}{2} =\frac{24}{2} =12$

A=$\sqrt{12(12-6)(12-10)(12-8) } =\sqrt{12*6*2*4} =\sqrt{576} =24$um²

A=24um²