Question

1.Aratati ca x = 5k - 3 supra 4 si y = 7k - 2 supra 6 nu pot fi ambele intregi pentru aceleasi valori ale lui k e Z
2.Pentru ce valori intregi ale lui n numarul n^2 + 4 supra n este intreg

Answer 1

1.
Aici ne putem lega de paritatea lui k.
Ca (5k - 3) / 4 sa fie numar intreg, 5k - 3 trebuie sa fie divizibil cu 4. Asta include si faptul ca 5k - 3 trebuie sa fie divizibil cu 2.
Ca suma/diferenta a doua numere intregi sa fie divizibila cu 2, ambele trebuie sa aiba aceeasi paritate(amandoua impare sau amandoua pare).
In cazul nostru 3 este impar, asadar 5k trebuie sa fie si el impar  ==>  k trebuie sa fie impar

Daca ne uitam la (7k - 2) / 6, deducem acelasi lucru: 7k - 2, divizibil cu 2, dar in cazul asta, 7k trebuie sa fie par  ==>  k trebuie sa fie par

Nu exista k ∈ Z care sa fie pari si impar in acelasi timp.

2.
Avem niste proprietati ale divizibilitatii:
a | b si a | c  ==>  a | (b + c), a | (b -  c), a | bc

Daca (n² + 4) / n este intreg  ==>  n | (n² + 4)
Dar stim ca n | n  ==>  n | n*n  ==> n | n²

Diferenta n | ((n² + 4) - n²) ==>  n | 4  ==>  n ∈ {-4, -2, -1, 1, 2, 4}