Question

1 )

Bisectoarele a doua unghiuri adiacente formeaza un unghi de 58 de grade si 30 'minute si masurile unghiurilor sunt invers proportionale cu nr. 0,5 si 1,5 . Calculati masurile acestor unghiuri .

2 )

Fiind date doua drepte distincte si concurente , sa se afle masurile celor patru unghiuri care se formeaza , stiind ca : a) Suma masurilor a doua dintre ele este 136 grade .

b) Suma masurilor a trei dintre ele este de 254 de grade .

3 ) Raportul masurilor a doua unghiuri suplementare este de 7 supra 11 . Determinati masurile lor .

Answer 1

1 )
Bisectoarele a doua unghiuri adiacente formeaza un unghi de 58 de grade si 30 'minute si masurile unghiurilor sunt invers proportionale cu nr. 0,5 si 1,5 . Calculati masurile acestor unghiuri .
R:
α si β sunt cele doua unghiuri adiacente
Unghiul format de bisectoare = 
α/2 + β/2 = 58° 30'
-------
α + β = 2 (α/2 + β/2) = 2(58° 30') = 117°
0,5α = 1,5β     i *2
-------
α + β = 117°
α - 3β = 0
------------------ Din prrima ecuatie o scadem pe a 2-a si scapam de α
/    4β = 117°  
β = 117 / 4 = 29° 15'
α = 117 - 29° 15' = 87° 45'

2 )
Fiind date doua drepte distincte si concurente , sa se afle masurile celor patru unghiuri care se formeaza , stiind ca :
a) Suma masurilor a doua dintre ele este 136 grade .
R:
Cele 2 unghuri sunt opuse la varf. Daca ar fi fost alaturate, ar fi fost suplementare.
=> sunt egale cu 136 / 2 = 68 grade
Celelalte 2 unghiuri opuse sunt egale intre ele si fiecare este egal cu:
(360 - 136) / 2 = 224 / 2 = 112 grade   

b) Suma masurilor a trei dintre ele este de 254 de grade .
R:
360 - 254 = 106 grade cel de-al 4-lea. Opusul lui este in suma.
256 - 106 = 150
150 / 2 = 75 grade celelalta 2 unghiuri  opuse

3 ) Raportul masurilor a doua unghiuri suplementare este de 7 supra 11 . Determinati masurile lor .
R:
α + β = 180°
α / β  = 7 / 11
-------
α + β = 180°   l   * 7
11α - 7β = 0
------- 
7α + 7β = 1260
11α - 7β = 0
-------------------------- Adunam cele 2 ecuatii si scapam de β.
18α = 1260
α = 1260 / 18  = 70°
β = 180 - 70 = 110°

Answer 2

1)  fie [OM -bisect <AOB  <=> mas< AOM=mas<MOB= mas<AOB/2
fie [ON -bisect <BOC <=>mas<BON =mas<NOC=mas<BOC/2

mas<MOB+mas<BON= 58° 30'

notam mas<MOB=a  &  mas <BON=b

a,b  ip cu  0,5 ; 1,5

0,5= 5/10= 1/2
1,5= 1 intreg 5/10= 1 intreg 1/2= 3/2

a,b  ip  cu 1/2   3/2

a/2= 3b/2=k

a=2k
b=2k/3

2k+2k/3 =58° 30'  aducem la acelasi numitor

6k+2k= 174° 90'

8k =174° 90'

k= 21° 86' =22° 26'

a=2*22° 26'=  44° 52'

b=2*22° 26'/3=  2* 7° 42'= 14° 84'= 15° 24'

2) a+b+c+d =360°   a,b,c,d-masurile unghiurilor

a=c  b=d

a+c=136
a+a=136
2a=136
a=68
a=c=68

b+d=360-136
b+d=224
b+b=224
2b=224
b=112

b=d=112

b)a+b+c+d=360

a=c  b=d

mas<d=360-a-b-c=   360-254= 106

d=b=106

a+b+c=254

a+b+a=254

2a+b=254

2a+106=254

2a=254-106

2a=148

a=74

a=c=74

3) a/b=7/11

a=7b/11

a+b=180

7b/11 +b=180  aducem la acelasi numitor

7b+11b=1980

18b=1980

b=110

a=7*110/11= 7*10=70