1. Calculan 5 + 225 : 15 - 15.
2. Alati suma tuturor numerelor naturale care împărțite la 4 dau catul egal cu
restal.
3. Aflati numarul cu 17 mai mare decât 4.
4. Scrieti patratul numărului 5.
5. Aflari valoarea luix, astfel încât propoziția ,,18:x+4 = 10" să fie adevărată.
6. Ştiind că a = 7. calculati a -9.
7. Calculati (3² - 2³)²⁰¹⁷.
8. Demonstrati ca numărul abc + bca + cab se divide cu 37.
9. Suma a trei numere naturale impare consecutive este 39. Aflați numerele.
10. Calculati:
a) 125 •1111³ -5555³";
b) 9⁵ - (3⁵)² +8⁴ - (2⁴)³;
c)2⁷:4³+3³ • 27:3⁵ +(3¹•2⁴ - 4²): 2³.
11. Claudiu şi Cristina sunt frati. Suma vârstelor celor doi frați este de 41 de ani.
In urmă cu 10 ani vârsta Cristinei era jumătate din vârsta lui Claudiu.
a) Ce vârstă are Cristina acum?
b) In urmă cu câți ani vârsta Cristinei era două treimi din vârsta lui Claudiu?
Răspunsuri la întrebare
1. Efectuam intai impartirea, apoi adunarile si scaderile:
5 + 225 : 15 - 15 = 5 + 15 - 15 = 5
2. Resturile posibile impartirii la 4 sunt: 0, 1, 2 si 3.
Conform teoremei impartirii cu rest, pentru a : b = c rest d, cunoastem ca
a = c•b + d
Pentru a afla numerele, nu avem de cat sa aplicam relatia pentru impartirea la 4 cu caturile si resturile 0, 1, 2, respectiv 3.
0•4+0=0 (0 impartit la 4 da catul 0 si restul 0)
1•4+1=5 (5 impartit la 4 da catul 1 si restul 1)
2•4+2=10 (10 impartit la 4 da catul 2 si restul 2)
3•4+3=15 (15 impartit la 4 da catul 3 si restul 3)
Suma lor va fi 0 + 5 + 10 + 15 = 30
3. Numarul cu 17 mai mare decat 4 va fi: 4 + 17 = 21
4. 5 ridicat la patrat este egal cu 5•5 = 25
5. 18:x+4 = 10
18:x=10-4
18:x=6
x=18:6
x=3
6. a = 7
a - 9 = 7 - 9 = -2
7. (3² - 2³)²⁰¹⁷ = (3•3 - 2•2•2)²⁰¹⁷ = (9-8)²⁰¹⁷ = 1²⁰¹⁷ = 1
8. abc=100a+10b+c
bca=100b+10c+a
cab=100c+10a+b
abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 111•(a+b+c) => este divizibil cu 111
111 : 37 = 3 => 111•(a+b+c) = 37•3•(a+b+c) => este divizibil cu 37
9. Numerele impare consecutive au diferenta intre ele egala cu 2.
Adica daca avem 1, 3, 5, ...
3-1=2 si 5-3=2 si asa mai departe
Vom nota primul numar impar cu 2n+1 (pentru ca 2n este par pentru orice numar natural n)
Astfel, numerele noastre vor fi: 2n+1, 2n+3 si 2n+5 (din 2 in 2).
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 39
6n + 9 = 39
6n = 39 - 9 = 30
n = 30 : 6 = 5
2n + 1 = 2•5 + 1 = 10 + 1 = 11
Deci cele trei numere vor fi 11, 13 si 15.
10. Am atasat mai jos imaginea pentru acest exercitiu.
11. Notam varstele celor doi cu x, respectiv y.
x+y=41
In urma cu 10 ani, Claudiu avea x-10 ani, iar Cristina y-10 ani, deci
y-10=(x-10):2
y=(x-10):2+10=x:2-10:2+10=x:2-5+10=x:2+5
Inlocuim pe y in prima relatie si obtinem:
x+x:2+5=41
Inmultim fiecare termen cu 2 si obtinem:
2x+x+10=82
3x=82-10
3x=72
x=24
deci y=24:2+5=12+5
y=17
a) Cristina are 17 ani acum
b) Notam ca in urma cu z ani varsta Cristinei era doua treimi din varsta lui Claudiu si avem:
17-z=2:3•(24-z)
17-z=24•2:3-z•2:3
17-z=16-2z:3
Inmultim cu 3 fiecare termen si obtinem:
51-3z=48-2z
51-48=3z-2z
z=3
In urma cu 3 ani Cristina avea doua treimi din varsta lui Claudiu.
