Question

1. Calculati A= 5/ 1 ori 6 + 5/ 6 ori 11+ 5/ 11 ori 16 + ... + 5/ 201 ori 206.
2. Desenati un triunghi oarecare ABC ai M, N respectiv mijloacele laturilor [AB] si [AC]. Prelungiti segmentul [MN] cu NP=MN. Demonstrati ca:
a) Triunghiul AMN este congruent cu triunghiul CPN
b) AB paralel cu CP
c) [MB] congruent cu [CP]


VA ROG MULT! E URGENT! DAU COROANA!

Answer 1

1.

$A= \frac{5}{1\cdot6}+ \frac{5}{6\cdot11}+ \frac{5}{11\cdot16}+...+ \frac{5}{201\cdot206}$

Termenul general are forma asta:
$\frac{5}{(5k-4)(5k+1)}$

O sa il scriem sub alta forma:
[tex]\frac{5}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{5+5k-5k}{(5k-4)(5k+1)}= \frac{(5k+1)+(4-5k)}{(5k-4)(5k+1)}= \frac{(5k+1)-(5k-4)}{(5k-4)(5k+1)}=\\\\ = \frac{5k+1}{(5k-4)(5k+1)}- \frac{5k-4}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1} [/tex]

Astfel: 5/(1*6) = 1/1 - 1/6 ; 5/(6*11)= 1/6 - 1/11  si tot asa:

$A= \frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{16} +...+ \frac{1}{201} - \frac{1}{206}$

Se vede ca se reduc toti termenii, mai putin primul si ultimul:
$A= \frac{1}{1}- \frac{1}{206}= \frac{205}{206}$

2.
a)
-> Unghiulile ANM si PNC sunt alterne-interne
-> AN = NC (N este mijlocul lui AC)
-> MN = NP

Din cele 3 ==>  ΔAMN ≡ ΔCPN

b)
M este mijlocul lui AB si N este mijlocul lui AC  ==>  MN este linie mijlocie in ΔABC  ==>  MN = BC / 2 si MN || BC

PN = MN  ==>  PM = PN + NM = 2NM = 2 * BC / 2 = BC (1)
PN este in alungirea segemntului MN  ==>  PN || BC (2)

Din (1) si (2)  ==>  MBCP este paralelogram   ==>  MB || CP, dar MB este inclus in dreapta AB  ==>  AB || CP

c)
MBCP este paralelogram  ==>  [MP] ≡ [CP]