Question

1.calculati distanta dintre punctele de intersectie cu axa Ox a graficului functiei f:R-R, f(x)=x^2-4x+3.

2.det punctele de inflexiune a functiei f. f=ln1-x/1+x

3. in cazul m=2, det patru nr intregi a,b,c,d, a>0, ai polinomul g=ax^3+bx^2+cx+d sa aiba rad 1/x1, 1/x2, 1/x3. polinomul f este f=x^3+x-m

 

Answer 1

f(x) = x² - 4x + 3    este echivalent cu    y = x² - 4x + 3
Toate punctele de pe axa Ox au coordonata "y", egala cu zero.
 => Pentru a afla punctele unde unde graficul functiei intersecteaza axa Ox,
dam lui y valoarea zero si rezolvam ecuatia.
0 = x² - 4x + 3 
sau mai corect:
x² - 4x + 3 = 0

x₁₂ = (4 ± √(16 - 12) / 2

x₁₂ = (4 ± √4) / 2

x₁₂ = (4 ± 2) / 2

x₁ = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1

 Distanta dintre x₁ si x₂ este:

x₁ - x₂ = 3 - 1 = 2

2)

Daca functia este:

$f(x)=ln1 - \frac{x}{1} + x = 0 -x + x = 0 + 0 = 0$

atunci functia f(x) = 0 nu are puncte de inflexiune.

Daca functia este:

$f(x)= \frac{ln1-x}{1+x}=\frac{0-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}$

Atunci derivam fractia cu formula:
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v -uv'}{ v^{2} }$

$(\frac{-x}{1+x})'= \frac{(-1)(1+x)-(-x)(1)}{(1+x)^{2}}= \frac{-1-x+x}{(1+x)^{2}}= \frac{-1}{(1+x)^{2}}$

Mai derivam o data:

$(\frac{-1}{ (1+x)^{2} } )'= \frac{(0)((1+x)^{2})-(-1)( \frac{1}{2}(1+x)^{ \frac{-1}{2} } )}{(1+x)^{4}}=$

$= \frac{ \frac{1}{2} (1+x)^{ \frac{-1}{2} } }{ (1+x)^4}$

Punctele de inflexiune le gasim egaland derivata a doua cu zero.
Numitorul este strict pozitiv
Numaratorul va fi zero daca

1 + x = 0
=>  x = -1
dar in punctul x = -1 functia nu este definita deoarece numitorul ar deveni nul.
=> Functia f(x) nu are puncte de inflexiune.

Answer 2

1.Graficul functiei intersectat cu Ox inseamna un numar de forma A(0,f(x)=0)
Egalam ecuatia cu 0 si obtinem solutiile x1=3,x2=1
Distanta dintre A(0,3) si B(0,1) este : radical din (xB-xA)^2 +(yB-yA)^2 .Si acum inlocuim,si obtinem: Radical din (0-0)^2+(3-1)^2=radical din 4=2