Question

1) Calculati primii cinci termeni ai fiecaruia dintre sirurile de mai jos:
a) $( x_{n}) _{n \geq 1}, x _{n}= n(n+1),$ ∀n∈N

2) Calculati primii cinci termeni si studiati monotonia sirurilor date prin termenii generali:
a) $x_{n}= \frac{6-n}{5n-1}, n \geq 1$
b) $x_{n}= \frac{1*3*5,,,(2n-1)}{2*4*6...(2n)} , n \geq 1$

3) Calculati primii cinci termeni si studiati monotonia sirurilor recurente:
a) $x_{0}=1, x_{n+1}= \frac{1}{2} x_{n}+ \frac{3}{2}; n \geq 0$

Answer 1

1.a)
x1=1*2=2
x2=2*3=6
x3=3*4=12
x4=4*5=20
x5=5*6=30
S5=2+6+12+20+30=70

2)  ( -n+6)/(5n +1)

x1=5/6
x2=4/11
x3=3/16
x4=2/21
x5=1/26
sirul este descrescator
acesta nu este o demonsttie riguroasa ci doar o verificare pt prmii 5 termeni ..esuiise paote arat ca siru are limita -1/5 iar primii 5 termeni sunt pozitivi si al 6-lea este nul
 pt astudia monotonia trebui sa facem fie rtaportul fie diferenta adoi termeni consecutivi  vom face raportul
 an+1/an= (-n-1+6)/(5n+5-1) : (-n+6)/(5n-1)=

(-n+5)(5n-1)/ [(5n+4)(-n+6)]= (-5n²+26n-5)/(-5n²+26n +24)
dac vom compara numaratorul si numitorul vom observa ca numitorul este cu  29 mai mare, deci fractia este subunitara (pt n suficient de mare, fractia este pozitiva)
deci sirul este descrescator

b) x1 =1/2
x2=1*3/(2*4)=3/8

x3= 1*3*5/(2*4*6)=15/48=5/16

x4=1*3*5*7/(2*4*6*8)=5*7/(2*4*2*8)=35/128

x5=1*3*5*7*9/(2*4*6*8*10)=7*9/(2*4*3*4*2)=63/192

pt a studia monotnia raportam an+1/an= [2(n+1)-1]/2(n+1)= (2n+1)/(2n+2)<1
deci sirul este descrescator


3) a)

x0=1
x1=(1/2) *1 +3/2=1/2+3/2=2
x3=1/2*2+3/2= 1+3/2=5/2
x4= (1/2)*(5/2) +3/2= 5/.4+3/2=5/4+6/4= 11/4
x5=(1/2) *11/4 +3/2=11/8+3/2= 11/8+12/8=23/8
 pt a studia monotonia sirului vom efectua diferenta

xn+1-xn=  xn/2+3/2-xn=3/2-xn/2


cum pt x1,x2,x3,x4, x5  am verificat ca  xn<3 ⇒xn/2<3/2 ( pt urmatoarele se poate demonstra prin inductie ca ∀n, xn<3 deci xn/2<3/2 )
deci diferenta xn+1- xn va fi pozitiva, deciu sirul este crescator