Question

1) calculati suma numerelor intregi din intervalul (-5;5).
2)Calculati probabilitatea ca,alegand un numar din multimea A={1,2,3,...,100}, acesta sa fie multiplu de 11.
3)In reperul cartezian xOy se considera punctele M(2;2) si N(4;2). Determinati coordonatele punctului P, situat pe axa Ox,astfel incat PM=PN.
4)Calculati lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC, in care AB=6 radical din 2 si C=pi/4.

Answer 1

1)
Numerele intregi din intervalul (-5, 5) sunt -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
Intervalul nu-i include pe 5 si -5.
Suma numerelor este 0

2)
P = (nr cazurilor favorabile) / (nr cazurilor posibile)
nr cazuri posibile = 100

Numerele din multimea {1, 2, ..., 100} divizibile cu 11: 11, 22, ..., 99   -  sunt 9 numere  ==>  nr cazuri favorabile = 9

P = 9 / 100

3)
Fie punctul P de coordonate (x, y)
Daca P este situat pe axa Ox, atunci coordonata y a lui P este 0, deci y = 0
P(x, 0)

Calculam lungimile segmentelor dupa formula:
$A_1(x_1,y_1);A_2(x_2,y_2)\rightarrow A_1A_2= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

[tex]PM= \sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}= \sqrt{(x-2)^2+2^2} = \\ = \sqrt{x^2-4x+4+4}= \sqrt{x^2-4x+8} [/tex]
$PN= \sqrt{(x-4)^2+2^2}= \sqrt{x^2-8x+16+4}= \sqrt{x^2-8x+20}$

Conditiile de existenta ale radicalilor:

$x^2-4x+8 \geq 0\\ \Delta=4^2-4*8=16-32=-16\ \textless \ 0 \rightarrow Expresia e pozitiva pt \forall x\in R$

[tex]x^2-8x+20 \geq 0\\ \Delta=8^2-4*20\ \textless \ 0\rightarrow $Expresia este pozitiva pt \forall x\in R[/tex]

Stim ca PM = PN, asa ca vom egala radicalii:

[tex]\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{x^2+8x+20}\\ x^2-4x+8=x^2+8x+20\\ 12x=-12\\ x=-1[/tex]

P(-1, 0)

4)
Teorema sinusurilor:
$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} =2R$

Unde a, b, c sunt lungimile laturilor, iar R este raza cercului circumscris.

In cazul nostru c = AB = 6√2 si sinC = sin(π/4)=√2 / 2

[tex]2R= \frac{c}{sinC}\\ R= \frac{c}{2sinC}= \frac{6 \sqrt{2} }{2\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }=6 [/tex]