Question

1. Demonstrati ca: 1\2²+1\3²+...+1\2011² < 2010\2011

Answer 1

problema ta se rezolva prin aproximarea la o suma telescopica.(denumire pompoasa, da)

o suma telescopica este de fapt o suma care poti aranja termeni astfel incat sa se reduca intre ei si sa ai un rezultat simplificat.
De ex, una din cele mai cunoscute sume telescopice este de forma :
1/2+ 1/6 +..+1/n*(n+1)

1/2 =1/1*2 si 1/2 =1/1 -1/2
1/6=1/2*3          =1/2 -1/3
....
1/n*(n+1)          =1/n -1/n+1
cand le aduni observi ca o sa ai : 1/1 -1/2 +1/2 -1/3+1/3 +....+1/n -1/n+1, rezultatul fiind 1/1 - 1/n+1

revenind la problema ta, te folosesti exact de exemplul de mai sus.
1/2^2 <1/1*2
1/3^2 <1/2*3
.....................
1/2011^2<1/2010*2011
le adunam si o sa ai:
Notez suma ta cu S
S< 1/1*2+1/2*3+...+1/2010*2011=>
=> S<1/1 -1/2 +1/2 -1/3 +....+1/2010 -1/2011 ...se reduc termeni si ai
S<1/1 -1/2011 => S<2011/2011 -1/2011 => S<(2011-1)/2011
adica ce ai de aratat ca S<2010/2011