Question

1) DEMONSTRATI CA DACA n>=5 ,ATUNCI 2 ^n > n^2.
2)FIE a REAL,DIFERIT DE 0 .FOLOSIND METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE , ARATATI CA DACA a+1/a apartine lui Z ,ATUNCI a^n+1/a^n apartine lui Z, ORICARE AR FI n apartine lui Z.

AMBELE TREBUIE REZOLVATE PRIN INDUCTIE MATEMATICA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

P(n): 2^n>n^2
1)P(5):2^5>5^2<=>32>25(Adevarat)

2)Presupunem P(n) (A) si demonstram P(n+1)(A)
Aratam ca P(n+1): 2^{n+1}>(n+1)^2

2^n>n^2 si inmultim cu 2=>
2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2
Aratam ca 2n^2>(n+1)^2.
2n^2>n^2+2n+1
n^2-2n-1>0<=>(n-1)^2-2>0 adevarata pentru n≥5