Question

1 demonstrati ca nr a= 2^2013+3^2013 este divizibil cu 5
2 demonstrati ca nr a = 6 ^n -1 este multiplu de 5
3 aratati ca (2^n+2 +2^n)|(4^n+1 +4^n)
4 demonstrati ca 10 la puterea n +1 -10 la puterea n +2 este divizibil cu 5 la uterea n +1 +4*5la puterea n
5 aratati ca 2 | (1^n+2^n+3^n)
6 demonstrati ca 1^n+2^n+3^n+4^n este divizibil cu 10
p.s unde este ^n este nr respectiv la puterea n

Answer 1

1). u(a)=u(\$2^{2013}+3^{2013}=u(2+ 3 )=5\;\vdots\;5\;;$                           
     (pt. ca: ...  2013:4=503 (rest 1) ; 2013:4=503 (rest 1) 0.
2).

u(a)=$u(6^n-1)=u(6-1)=5=M_5\;;$
3).
$\rightarrow\;\\ \frac{4^{n+1)+4^n}{2^{n+2}+2^n}=\frac{4^n(4\not{+}1)}{2^n(4\not{+}1)}=\\ =4^n:2^n=2^{2n):2^n=2^{2n-n)=2^n\in\mathbb{N}$;
4).
$...=u(10^(n+1}\cdot(1-10))=u(0\cdot9)=0\;\rightarrow\;expresia\,\vdots\,5\;;$
 Asemanator procedez si la exercitiile 5) si 6). Succes !